حل (x-1)^2+2x(x-1)=0

$$( x - 1 ) ^ { 2 } + 2 x ( x - 1 ) = 0$$

برای x حل کنید

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$x=1$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(x-1\right)^{2} استفاده کنید.

$$x^{2}-2x+1+2x\left(x-1\right)=0$$

از اموال توزیعی برای ضرب 2x در x-1 استفاده کنید.

$$x^{2}-2x+1+2x^{2}-2x=0$$

x^{2} و 2x^{2} را برای به دست آوردن 3x^{2} ترکیب کنید.

$$3x^{2}-2x+1-2x=0$$

-2x و -2x را برای به دست آوردن -4x ترکیب کنید.

$$3x^{2}-4x+1=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3x^{2}+ax+bx+1 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-4 ab=3\times 1=3$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تنها جواب دستگاه این زوج است.

$$a=-3 b=-1$$

3x^{2}-4x+1 را به‌عنوان \left(3x^{2}-3x\right)+\left(-x+1\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(-x+1\right)$$

در گروه اول از 3x و در گروه دوم از -1 فاکتور بگیرید.

$$3x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-1\right)\left(3x-1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-1=0 و 3x-1=0 را حل کنید.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(x-1\right)^{2} استفاده کنید.

$$x^{2}-2x+1+2x\left(x-1\right)=0$$

از اموال توزیعی برای ضرب 2x در x-1 استفاده کنید.

$$x^{2}-2x+1+2x^{2}-2x=0$$

x^{2} و 2x^{2} را برای به دست آوردن 3x^{2} ترکیب کنید.

$$3x^{2}-2x+1-2x=0$$

-2x و -2x را برای به دست آوردن -4x ترکیب کنید.

$$3x^{2}-4x+1=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، -4 را با b و 1 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

-4 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12}}{2\times 3}$$

16 را به -12 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 4 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2}{2\times 3}$$

متضاد -4 عبارت است از 4.

$$x=\frac{4±2}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$x=\frac{4±2}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{4±2}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 4 را به 2 اضافه کنید.

$$x=\frac{6}{6}$$

6 را بر 6 تقسیم کنید.

$$x=1$$

اکنون معادله x=\frac{4±2}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 2 را از 4 تفریق کنید.

$$x=\frac{2}{6}$$

کسر \frac{2}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{1}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(x-1\right)^{2} استفاده کنید.

$$x^{2}-2x+1+2x\left(x-1\right)=0$$

از اموال توزیعی برای ضرب 2x در x-1 استفاده کنید.

$$x^{2}-2x+1+2x^{2}-2x=0$$

x^{2} و 2x^{2} را برای به دست آوردن 3x^{2} ترکیب کنید.

$$3x^{2}-2x+1-2x=0$$

-2x و -2x را برای به دست آوردن -4x ترکیب کنید.

$$3x^{2}-4x+1=0$$

1 را از هر دو طرف تفریق کنید. هر چیزی که از صفر کم می‌شود، منفی خودش می‌شود.

$$3x^{2}-4x=-1$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=-\frac{1}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

-\frac{4}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{2}{3} شود. سپس مجذور -\frac{2}{3} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

-\frac{2}{3} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{1}{3} را به \frac{4}{9} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

عامل x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

\frac{2}{3} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$