حل (x-1)^2+(2x+2)^2=16

$$( x - 1 ) ^ { 2 } + ( 2 x + 2 ) ^ { 2 } = 16$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

$$x=1$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(x-1\right)^{2} استفاده کنید.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(2x+2\right)^{2} استفاده کنید.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

x^{2} و 4x^{2} را برای به دست آوردن 5x^{2} ترکیب کنید.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

-2x و 8x را برای به دست آوردن 6x ترکیب کنید.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

1 و 4 را برای دریافت 5 اضافه کنید.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

16 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

تفریق 16 را از 5 برای به دست آوردن -11 تفریق کنید.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 5x^{2}+ax+bx-11 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=6 ab=5\left(-11\right)=-55$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -55 است فهرست کنید.

$$-1,55 -5,11$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+55=54 -5+11=6$$

جواب زوجی است که مجموع آن 6 است.

$$a=-5 b=11$$

5x^{2}+6x-11 را به‌عنوان \left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right) بازنویسی کنید.

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right)$$

در گروه اول از 5x و در گروه دوم از 11 فاکتور بگیرید.

$$5x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-1\right)\left(5x+11\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-1=0 و 5x+11=0 را حل کنید.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(x-1\right)^{2} استفاده کنید.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(2x+2\right)^{2} استفاده کنید.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

x^{2} و 4x^{2} را برای به دست آوردن 5x^{2} ترکیب کنید.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

-2x و 8x را برای به دست آوردن 6x ترکیب کنید.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

1 و 4 را برای دریافت 5 اضافه کنید.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

16 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

تفریق 16 را از 5 برای به دست آوردن -11 تفریق کنید.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 5 را با a، 6 را با b و -11 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

6 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

-4 بار 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

-20 بار -11.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+220}}{2\times 5}$$

36 را به 220 اضافه کنید.

$$x=\frac{-6±\sqrt{256}}{2\times 5}$$

ریشه دوم 256 را به دست آورید.

$$x=\frac{-6±16}{2\times 5}$$

2 بار 5.

$$x=\frac{-6±16}{10}$$

اکنون معادله x=\frac{-6±16}{10} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -6 را به 16 اضافه کنید.

$$x=\frac{10}{10}$$

10 را بر 10 تقسیم کنید.

$$x=1$$

اکنون معادله x=\frac{-6±16}{10} وقتی که ± منفی است حل کنید. 16 را از -6 تفریق کنید.

$$x=-\frac{22}{10}$$

کسر \frac{-22}{10} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{11}{5}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

مراحل برای تکمیل مربع

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(x-1\right)^{2} استفاده کنید.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(2x+2\right)^{2} استفاده کنید.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

x^{2} و 4x^{2} را برای به دست آوردن 5x^{2} ترکیب کنید.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

-2x و 8x را برای به دست آوردن 6x ترکیب کنید.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

1 و 4 را برای دریافت 5 اضافه کنید.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

5 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$5x^{2}+6x=16-5$$

تفریق 5 را از 16 برای به دست آوردن 11 تفریق کنید.

$$5x^{2}+6x=11$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=\frac{11}{5}$$

تقسیم بر 5، ضرب در 5 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{11}{5}$$

\frac{6}{5}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{3}{5} شود. سپس مجذور \frac{3}{5} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{11}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

\frac{3}{5} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{11}{5}+\frac{9}{25}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{11}{5} را به \frac{9}{25} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{64}{25}$$

عامل x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{64}{25}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{25}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{8}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{8}{5}$$

\frac{3}{5} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$