حل (v+4)^2=2v^2+2v+9

$$( v + 4 ) ^ { 2 } = 2 v ^ { 2 } + 2 v + 9$$

برای v حل کنید

$$v=-1$$

$$v=7$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(v+4\right)^{2} استفاده کنید.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

2v^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

v^{2} و -2v^{2} را برای به دست آوردن -v^{2} ترکیب کنید.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

2v را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

8v و -2v را برای به دست آوردن 6v ترکیب کنید.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

9 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

تفریق 9 را از 16 برای به دست آوردن 7 تفریق کنید.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت -v^{2}+av+bv+7 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=6 ab=-7=-7$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تنها جواب دستگاه این زوج است.

$$a=7 b=-1$$

-v^{2}+6v+7 را به‌عنوان \left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right) بازنویسی کنید.

$$\left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right)$$

در گروه اول از -v و در گروه دوم از -1 فاکتور بگیرید.

$$-v\left(v-7\right)-\left(v-7\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک v-7 فاکتور بگیرید.

$$\left(v-7\right)\left(-v-1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، v-7=0 و -v-1=0 را حل کنید.

$$v=7 v=-1$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(v+4\right)^{2} استفاده کنید.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

2v^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

v^{2} و -2v^{2} را برای به دست آوردن -v^{2} ترکیب کنید.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

2v را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

8v و -2v را برای به دست آوردن 6v ترکیب کنید.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

9 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

تفریق 9 را از 16 برای به دست آوردن 7 تفریق کنید.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. -1 را با a، 6 را با b و 7 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$v=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

6 را مجذور کنید.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

-4 بار -1.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

4 بار 7.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+28}}{2\left(-1\right)}$$

36 را به 28 اضافه کنید.

$$v=\frac{-6±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

ریشه دوم 64 را به دست آورید.

$$v=\frac{-6±8}{2\left(-1\right)}$$

2 بار -1.

$$v=\frac{-6±8}{-2}$$

اکنون معادله v=\frac{-6±8}{-2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -6 را به 8 اضافه کنید.

$$v=\frac{2}{-2}$$

2 را بر -2 تقسیم کنید.

$$v=-1$$

اکنون معادله v=\frac{-6±8}{-2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 8 را از -6 تفریق کنید.

$$v=-\frac{14}{-2}$$

-14 را بر -2 تقسیم کنید.

$$v=7$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$v=-1 v=7$$

مراحل برای تکمیل مربع

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(v+4\right)^{2} استفاده کنید.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

2v^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

v^{2} و -2v^{2} را برای به دست آوردن -v^{2} ترکیب کنید.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

2v را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

8v و -2v را برای به دست آوردن 6v ترکیب کنید.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

16 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-v^{2}+6v=9-16$$

تفریق 16 را از 9 برای به دست آوردن -7 تفریق کنید.

$$-v^{2}+6v=-7$$

هر دو طرف بر -1 تقسیم شوند.

$$\frac{-v^{2}+6v}{-1}=-\frac{7}{-1}$$

تقسیم بر -1، ضرب در -1 را لغو می‌کند.

$$v^{2}+\frac{6}{-1}v=-\frac{7}{-1}$$

6 را بر -1 تقسیم کنید.

$$v^{2}-6v=-\frac{7}{-1}$$

-7 را بر -1 تقسیم کنید.

$$v^{2}-6v=7$$

-6، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -3 شود. سپس مجذور -3 را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$v^{2}-6v+\left(-3\right)^{2}=7+\left(-3\right)^{2}$$

-3 را مجذور کنید.

$$v^{2}-6v+9=7+9$$

7 را به 9 اضافه کنید.

$$v^{2}-6v+9=16$$

عامل v^{2}-6v+9. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(v-3\right)^{2}=16$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(v-3\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

ساده کنید.

$$v-3=4 v-3=-4$$

3 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$v=7 v=-1$$