حل (5x-4)^2=81

$$( 5 x - 4 ) ^ { 2 } = 81$$

برای x حل کنید

$$x = \frac{13}{5} = 2\frac{3}{5} = 2.6$$

$$x=-1$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(5x-4\right)^{2} استفاده کنید.

$$25x^{2}-40x+16=81$$

81 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$25x^{2}-40x+16-81=0$$

تفریق 81 را از 16 برای به دست آوردن -65 تفریق کنید.

$$25x^{2}-40x-65=0$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$5x^{2}-8x-13=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 5x^{2}+ax+bx-13 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-8 ab=5\left(-13\right)=-65$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -65 است فهرست کنید.

$$1,-65 5,-13$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-65=-64 5-13=-8$$

جواب زوجی است که مجموع آن -8 است.

$$a=-13 b=5$$

5x^{2}-8x-13 را به‌عنوان \left(5x^{2}-13x\right)+\left(5x-13\right) بازنویسی کنید.

$$\left(5x^{2}-13x\right)+\left(5x-13\right)$$

از x در 5x^{2}-13x فاکتور بگیرید.

$$x\left(5x-13\right)+5x-13$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 5x-13 فاکتور بگیرید.

$$\left(5x-13\right)\left(x+1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 5x-13=0 و x+1=0 را حل کنید.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(5x-4\right)^{2} استفاده کنید.

$$25x^{2}-40x+16=81$$

81 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$25x^{2}-40x+16-81=0$$

تفریق 81 را از 16 برای به دست آوردن -65 تفریق کنید.

$$25x^{2}-40x-65=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 25 را با a، -40 را با b و -65 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

-40 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

-4 بار 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\left(-65\right)}}{2\times 25}$$

-100 بار -65.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+6500}}{2\times 25}$$

1600 را به 6500 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{8100}}{2\times 25}$$

ریشه دوم 8100 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±90}{2\times 25}$$

متضاد -40 عبارت است از 40.

$$x=\frac{40±90}{2\times 25}$$

2 بار 25.

$$x=\frac{40±90}{50}$$

اکنون معادله x=\frac{40±90}{50} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 40 را به 90 اضافه کنید.

$$x=\frac{130}{50}$$

کسر \frac{130}{50} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 10، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{13}{5}$$

اکنون معادله x=\frac{40±90}{50} وقتی که ± منفی است حل کنید. 90 را از 40 تفریق کنید.

$$x=-\frac{50}{50}$$

-50 را بر 50 تقسیم کنید.

$$x=-1$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$

مراحل برای تکمیل مربع

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(5x-4\right)^{2} استفاده کنید.

$$25x^{2}-40x+16=81$$

16 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$25x^{2}-40x=81-16$$

تفریق 16 را از 81 برای به دست آوردن 65 تفریق کنید.

$$25x^{2}-40x=65$$

هر دو طرف بر 25 تقسیم شوند.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=\frac{65}{25}$$

تقسیم بر 25، ضرب در 25 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=\frac{65}{25}$$

کسر \frac{-40}{25} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 5، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{65}{25}$$

کسر \frac{65}{25} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 5، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=\frac{13}{5}$$

-\frac{8}{5}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{4}{5} شود. سپس مجذور -\frac{4}{5} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{13}{5}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

-\frac{4}{5} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{13}{5}+\frac{16}{25}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{13}{5} را به \frac{16}{25} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{81}{25}$$

عامل x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{4}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{4}{5}=-\frac{9}{5}$$

\frac{4}{5} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{13}{5} x=-1$$