حل (5x+7)^2=16

$$( 5 x + 7 ) ^ { 2 } = 16$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(5x+7\right)^{2} استفاده کنید.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

16 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$25x^{2}+70x+49-16=0$$

تفریق 16 را از 49 برای به دست آوردن 33 تفریق کنید.

$$25x^{2}+70x+33=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 25x^{2}+ax+bx+33 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=70 ab=25\times 33=825$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 825 است فهرست کنید.

$$1,825 3,275 5,165 11,75 15,55 25,33$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+825=826 3+275=278 5+165=170 11+75=86 15+55=70 25+33=58$$

جواب زوجی است که مجموع آن 70 است.

$$a=15 b=55$$

25x^{2}+70x+33 را به‌عنوان \left(25x^{2}+15x\right)+\left(55x+33\right) بازنویسی کنید.

$$\left(25x^{2}+15x\right)+\left(55x+33\right)$$

در گروه اول از 5x و در گروه دوم از 11 فاکتور بگیرید.

$$5x\left(5x+3\right)+11\left(5x+3\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 5x+3 فاکتور بگیرید.

$$\left(5x+3\right)\left(5x+11\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 5x+3=0 و 5x+11=0 را حل کنید.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(5x+7\right)^{2} استفاده کنید.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

16 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$25x^{2}+70x+49-16=0$$

تفریق 16 را از 49 برای به دست آوردن 33 تفریق کنید.

$$25x^{2}+70x+33=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 25 را با a، 70 را با b و 33 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 25\times 33}}{2\times 25}$$

70 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 25\times 33}}{2\times 25}$$

-4 بار 25.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-100\times 33}}{2\times 25}$$

-100 بار 33.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-3300}}{2\times 25}$$

4900 را به -3300 اضافه کنید.

$$x=\frac{-70±\sqrt{1600}}{2\times 25}$$

ریشه دوم 1600 را به دست آورید.

$$x=\frac{-70±40}{2\times 25}$$

2 بار 25.

$$x=\frac{-70±40}{50}$$

اکنون معادله x=\frac{-70±40}{50} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -70 را به 40 اضافه کنید.

$$x=-\frac{30}{50}$$

کسر \frac{-30}{50} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 10، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{3}{5}$$

اکنون معادله x=\frac{-70±40}{50} وقتی که ± منفی است حل کنید. 40 را از -70 تفریق کنید.

$$x=-\frac{110}{50}$$

کسر \frac{-110}{50} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 10، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{11}{5}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$

مراحل برای تکمیل مربع

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(5x+7\right)^{2} استفاده کنید.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

49 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$25x^{2}+70x=16-49$$

تفریق 49 را از 16 برای به دست آوردن -33 تفریق کنید.

$$25x^{2}+70x=-33$$

هر دو طرف بر 25 تقسیم شوند.

$$\frac{25x^{2}+70x}{25}=-\frac{33}{25}$$

تقسیم بر 25، ضرب در 25 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{70}{25}x=-\frac{33}{25}$$

کسر \frac{70}{25} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 5، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x=-\frac{33}{25}$$

\frac{14}{5}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{7}{5} شود. سپس مجذور \frac{7}{5} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}=-\frac{33}{25}+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}$$

\frac{7}{5} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{-33+49}{25}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{33}{25} را به \frac{49}{25} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{16}{25}$$

عامل x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{7}{5}=\frac{4}{5} x+\frac{7}{5}=-\frac{4}{5}$$

\frac{7}{5} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$