حل (5sqrt{5}-x)^2+25=x

$$( 5 \sqrt { 5 } - x ) ^ { 2 } + 25 = x$$

برای x حل کنید (complex solution)

$$x=\frac{i\sqrt{99-20\sqrt{5}}}{2}+5\sqrt{5}+\frac{1}{2}\approx 11.680339887+3.683701958i$$

$$x=-\frac{i\sqrt{99-20\sqrt{5}}}{2}+5\sqrt{5}+\frac{1}{2}\approx 11.680339887-3.683701958i$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(5\sqrt{5}-x\right)^{2} استفاده کنید.

$$25\left(\sqrt{5}\right)^{2}-10\sqrt{5}x+x^{2}+25=x$$

مجذور \sqrt{5} عبارت است از 5.

$$25\times 5-10\sqrt{5}x+x^{2}+25=x$$

25 و 5 را برای دستیابی به 125 ضرب کنید.

$$125-10\sqrt{5}x+x^{2}+25=x$$

125 و 25 را برای دریافت 150 اضافه کنید.

$$150-10\sqrt{5}x+x^{2}=x$$

x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$150-10\sqrt{5}x+x^{2}-x=0$$

همه جمله‌های شامل x را ترکیب کنید.

$$150+\left(-10\sqrt{5}-1\right)x+x^{2}=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$x^{2}+\left(-10\sqrt{5}-1\right)x+150=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1 را با a، -10\sqrt{5}-1 را با b و 150 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-10\sqrt{5}-1\right)±\sqrt{\left(-10\sqrt{5}-1\right)^{2}-4\times 150}}{2}$$

-10\sqrt{5}-1 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-10\sqrt{5}-1\right)±\sqrt{20\sqrt{5}+501-4\times 150}}{2}$$

-4 بار 150.

$$x=\frac{-\left(-10\sqrt{5}-1\right)±\sqrt{20\sqrt{5}+501-600}}{2}$$

501+20\sqrt{5} را به -600 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-10\sqrt{5}-1\right)±\sqrt{20\sqrt{5}-99}}{2}$$

ریشه دوم -99+20\sqrt{5} را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-10\sqrt{5}-1\right)±i\sqrt{99-20\sqrt{5}}}{2}$$

متضاد -10\sqrt{5}-1 عبارت است از 10\sqrt{5}+1.

$$x=\frac{10\sqrt{5}+1±i\sqrt{99-20\sqrt{5}}}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{10\sqrt{5}+1±i\sqrt{99-20\sqrt{5}}}{2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 10\sqrt{5}+1 را به i\sqrt{99-20\sqrt{5}} اضافه کنید.

$$x=\frac{10\sqrt{5}+1+i\sqrt{99-20\sqrt{5}}}{2}$$

10\sqrt{5}+1+i\sqrt{99-20\sqrt{5}} را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=\frac{i\sqrt{99-20\sqrt{5}}}{2}+5\sqrt{5}+\frac{1}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{10\sqrt{5}+1±i\sqrt{99-20\sqrt{5}}}{2} وقتی که ± منفی است حل کنید. i\sqrt{99-20\sqrt{5}} را از 10\sqrt{5}+1 تفریق کنید.

$$x=\frac{-i\sqrt{99-20\sqrt{5}}+10\sqrt{5}+1}{2}$$

10\sqrt{5}+1-i\sqrt{99-20\sqrt{5}} را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=-\frac{i\sqrt{99-20\sqrt{5}}}{2}+5\sqrt{5}+\frac{1}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{i\sqrt{99-20\sqrt{5}}}{2}+5\sqrt{5}+\frac{1}{2} x=-\frac{i\sqrt{99-20\sqrt{5}}}{2}+5\sqrt{5}+\frac{1}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(5\sqrt{5}-x\right)^{2} استفاده کنید.

$$25\left(\sqrt{5}\right)^{2}-10\sqrt{5}x+x^{2}+25=x$$

مجذور \sqrt{5} عبارت است از 5.

$$25\times 5-10\sqrt{5}x+x^{2}+25=x$$

25 و 5 را برای دستیابی به 125 ضرب کنید.

$$125-10\sqrt{5}x+x^{2}+25=x$$

125 و 25 را برای دریافت 150 اضافه کنید.

$$150-10\sqrt{5}x+x^{2}=x$$

x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$150-10\sqrt{5}x+x^{2}-x=0$$

150 را از هر دو طرف تفریق کنید. هر چیزی که از صفر کم می‌شود، منفی خودش می‌شود.

$$-10\sqrt{5}x+x^{2}-x=-150$$

همه جمله‌های شامل x را ترکیب کنید.

$$\left(-10\sqrt{5}-1\right)x+x^{2}=-150$$

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$x^{2}+\left(-10\sqrt{5}-1\right)x=-150$$

-10\sqrt{5}-1، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -5\sqrt{5}-\frac{1}{2} شود. سپس مجذور -5\sqrt{5}-\frac{1}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\left(-10\sqrt{5}-1\right)x+\left(-5\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)^{2}=-150+\left(-5\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-5\sqrt{5}-\frac{1}{2} را مجذور کنید.

$$x^{2}+\left(-10\sqrt{5}-1\right)x+5\sqrt{5}+\frac{501}{4}=-150+5\sqrt{5}+\frac{501}{4}$$

-150 را به \frac{501}{4}+5\sqrt{5} اضافه کنید.

$$x^{2}+\left(-10\sqrt{5}-1\right)x+5\sqrt{5}+\frac{501}{4}=5\sqrt{5}-\frac{99}{4}$$

عامل x^{2}+\left(-10\sqrt{5}-1\right)x+5\sqrt{5}+\frac{501}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-5\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)^{2}=5\sqrt{5}-\frac{99}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-5\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{5\sqrt{5}-\frac{99}{4}}$$

ساده کنید.

$$x-5\sqrt{5}-\frac{1}{2}=\frac{i\sqrt{99-20\sqrt{5}}}{2} x-5\sqrt{5}-\frac{1}{2}=-\frac{i\sqrt{99-20\sqrt{5}}}{2}$$

-5\sqrt{5}-\frac{1}{2} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{i\sqrt{99-20\sqrt{5}}}{2}+5\sqrt{5}+\frac{1}{2} x=-\frac{i\sqrt{99-20\sqrt{5}}}{2}+5\sqrt{5}+\frac{1}{2}$$