حل (4x-4)sqrt{2x}=6x-1

$$( 4 x - 4 ) \sqrt { 2 x } = 6 x - 1$$

برای x حل کنید

$$x = \frac{5 \sqrt{17} + 21}{16} \approx 2.600970508$$

$$x=\frac{21-5\sqrt{17}}{16}\approx 0.024029492$$

مراحل راه‌حل

هر دو طرف معادله را مربع کنید.

$$\left(\left(4x-4\right)\sqrt{2x}\right)^{2}=\left(6x-1\right)^{2}$$

از اموال توزیعی برای ضرب 4x-4 در \sqrt{2x} استفاده کنید.

$$\left(4x\sqrt{2x}-4\sqrt{2x}\right)^{2}=\left(6x-1\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(4x\sqrt{2x}-4\sqrt{2x}\right)^{2} استفاده کنید.

$$16x^{2}\left(\sqrt{2x}\right)^{2}-32x\sqrt{2x}\sqrt{2x}+16\left(\sqrt{2x}\right)^{2}=\left(6x-1\right)^{2}$$

\sqrt{2x} و \sqrt{2x} را برای دستیابی به \left(\sqrt{2x}\right)^{2} ضرب کنید.

$$16x^{2}\left(\sqrt{2x}\right)^{2}-32x\left(\sqrt{2x}\right)^{2}+16\left(\sqrt{2x}\right)^{2}=\left(6x-1\right)^{2}$$

\sqrt{2x} را به توان 2 محاسبه کنید و 2x را به دست آورید.

$$16x^{2}\times 2x-32x\left(\sqrt{2x}\right)^{2}+16\left(\sqrt{2x}\right)^{2}=\left(6x-1\right)^{2}$$

16 و 2 را برای دستیابی به 32 ضرب کنید.

$$32x^{2}x-32x\left(\sqrt{2x}\right)^{2}+16\left(\sqrt{2x}\right)^{2}=\left(6x-1\right)^{2}$$

برای ضرب توان‌های دارای پایه مشابه، توان‌های آنها را جمع بزنید. 2 و 1 را برای رسیدن به 3 جمع بزنید.

$$32x^{3}-32x\left(\sqrt{2x}\right)^{2}+16\left(\sqrt{2x}\right)^{2}=\left(6x-1\right)^{2}$$

\sqrt{2x} را به توان 2 محاسبه کنید و 2x را به دست آورید.

$$32x^{3}-32x\times 2x+16\left(\sqrt{2x}\right)^{2}=\left(6x-1\right)^{2}$$

-32 و 2 را برای دستیابی به -64 ضرب کنید.

$$32x^{3}-64xx+16\left(\sqrt{2x}\right)^{2}=\left(6x-1\right)^{2}$$

x و x را برای دستیابی به x^{2} ضرب کنید.

$$32x^{3}-64x^{2}+16\left(\sqrt{2x}\right)^{2}=\left(6x-1\right)^{2}$$

\sqrt{2x} را به توان 2 محاسبه کنید و 2x را به دست آورید.

$$32x^{3}-64x^{2}+16\times 2x=\left(6x-1\right)^{2}$$

16 و 2 را برای دستیابی به 32 ضرب کنید.

$$32x^{3}-64x^{2}+32x=\left(6x-1\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(6x-1\right)^{2} استفاده کنید.

$$32x^{3}-64x^{2}+32x=36x^{2}-12x+1$$

36x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$32x^{3}-64x^{2}+32x-36x^{2}=-12x+1$$

-64x^{2} و -36x^{2} را برای به دست آوردن -100x^{2} ترکیب کنید.

$$32x^{3}-100x^{2}+32x=-12x+1$$

12x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$32x^{3}-100x^{2}+32x+12x=1$$

32x و 12x را برای به دست آوردن 44x ترکیب کنید.

$$32x^{3}-100x^{2}+44x=1$$

1 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$32x^{3}-100x^{2}+44x-1=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -1 و q به عامل پیشگام 32 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{32},±\frac{1}{16},±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=\frac{1}{2}$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. 32x^{3}-100x^{2}+44x-1 را بر 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 برای به دست آوردن 16x^{2}-42x+1 تقسیم کنید. معادله را حل کنید به‌طوری‌که در آن نتیجه مساوی 0 باشد.

$$16x^{2}-42x+1=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 16 را با a، -42 را با b، و 1 را با c جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{\left(-42\right)^{2}-4\times 16\times 1}}{2\times 16}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$x=\frac{42±10\sqrt{17}}{32}$$

معادله 16x^{2}-42x+1=0 را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$x=\frac{21-5\sqrt{17}}{16} x=\frac{5\sqrt{17}+21}{16}$$

تمام جواب‌های یافت‌شده را فهرست کنید.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{21-5\sqrt{17}}{16} x=\frac{5\sqrt{17}+21}{16}$$

\frac{1}{2} به جای x در معادله \left(4x-4\right)\sqrt{2x}=6x-1 جایگزین شود.

$$\left(4\times \frac{1}{2}-4\right)\sqrt{2\times \frac{1}{2}}=6\times \frac{1}{2}-1$$

ساده کنید. مقدار x=\frac{1}{2} معادله را برآورده نمی کند زیرا سمت چپ و راست علامت‌های مخالف دارند.

$$-2=2$$

\frac{21-5\sqrt{17}}{16} به جای x در معادله \left(4x-4\right)\sqrt{2x}=6x-1 جایگزین شود.

$$\left(4\times \frac{21-5\sqrt{17}}{16}-4\right)\sqrt{2\times \frac{21-5\sqrt{17}}{16}}=6\times \frac{21-5\sqrt{17}}{16}-1$$

ساده کنید. مقدار x=\frac{21-5\sqrt{17}}{16} معادله را برآورده می کند.

$$\frac{55}{8}-\frac{15}{8}\times 17^{\frac{1}{2}}=\frac{55}{8}-\frac{15}{8}\times 17^{\frac{1}{2}}$$

\frac{5\sqrt{17}+21}{16} به جای x در معادله \left(4x-4\right)\sqrt{2x}=6x-1 جایگزین شود.

$$\left(4\times \frac{5\sqrt{17}+21}{16}-4\right)\sqrt{2\times \frac{5\sqrt{17}+21}{16}}=6\times \frac{5\sqrt{17}+21}{16}-1$$

ساده کنید. مقدار x=\frac{5\sqrt{17}+21}{16} معادله را برآورده می کند.

$$\frac{55}{8}+\frac{15}{8}\times 17^{\frac{1}{2}}=\frac{15}{8}\times 17^{\frac{1}{2}}+\frac{55}{8}$$

تمام راه حل‌های \sqrt{2x}\left(4x-4\right)=6x-1 را لیست کنید.

$$x=\frac{21-5\sqrt{17}}{16} x=\frac{5\sqrt{17}+21}{16}$$