حل (4x+6)^2=2x+3

$$( 4 x + 6 ) ^ { 2 } = 2 x + 3$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{11}{8} = -1\frac{3}{8} = -1.375$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(4x+6\right)^{2} استفاده کنید.

$$16x^{2}+48x+36=2x+3$$

2x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$16x^{2}+48x+36-2x=3$$

48x و -2x را برای به دست آوردن 46x ترکیب کنید.

$$16x^{2}+46x+36=3$$

3 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$16x^{2}+46x+36-3=0$$

تفریق 3 را از 36 برای به دست آوردن 33 تفریق کنید.

$$16x^{2}+46x+33=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 16x^{2}+ax+bx+33 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=46 ab=16\times 33=528$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 528 است فهرست کنید.

$$1,528 2,264 3,176 4,132 6,88 8,66 11,48 12,44 16,33 22,24$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+528=529 2+264=266 3+176=179 4+132=136 6+88=94 8+66=74 11+48=59 12+44=56 16+33=49 22+24=46$$

جواب زوجی است که مجموع آن 46 است.

$$a=22 b=24$$

16x^{2}+46x+33 را به‌عنوان \left(16x^{2}+22x\right)+\left(24x+33\right) بازنویسی کنید.

$$\left(16x^{2}+22x\right)+\left(24x+33\right)$$

در گروه اول از 2x و در گروه دوم از 3 فاکتور بگیرید.

$$2x\left(8x+11\right)+3\left(8x+11\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 8x+11 فاکتور بگیرید.

$$\left(8x+11\right)\left(2x+3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 8x+11=0 و 2x+3=0 را حل کنید.

$$x=-\frac{11}{8} x=-\frac{3}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(4x+6\right)^{2} استفاده کنید.

$$16x^{2}+48x+36=2x+3$$

2x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$16x^{2}+48x+36-2x=3$$

48x و -2x را برای به دست آوردن 46x ترکیب کنید.

$$16x^{2}+46x+36=3$$

3 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$16x^{2}+46x+36-3=0$$

تفریق 3 را از 36 برای به دست آوردن 33 تفریق کنید.

$$16x^{2}+46x+33=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 16 را با a، 46 را با b و 33 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-46±\sqrt{46^{2}-4\times 16\times 33}}{2\times 16}$$

46 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-4\times 16\times 33}}{2\times 16}$$

-4 بار 16.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-64\times 33}}{2\times 16}$$

-64 بار 33.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-2112}}{2\times 16}$$

2116 را به -2112 اضافه کنید.

$$x=\frac{-46±\sqrt{4}}{2\times 16}$$

ریشه دوم 4 را به دست آورید.

$$x=\frac{-46±2}{2\times 16}$$

2 بار 16.

$$x=\frac{-46±2}{32}$$

اکنون معادله x=\frac{-46±2}{32} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -46 را به 2 اضافه کنید.

$$x=-\frac{44}{32}$$

کسر \frac{-44}{32} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{11}{8}$$

اکنون معادله x=\frac{-46±2}{32} وقتی که ± منفی است حل کنید. 2 را از -46 تفریق کنید.

$$x=-\frac{48}{32}$$

کسر \frac{-48}{32} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 16، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{3}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-\frac{11}{8} x=-\frac{3}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(4x+6\right)^{2} استفاده کنید.

$$16x^{2}+48x+36=2x+3$$

2x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$16x^{2}+48x+36-2x=3$$

48x و -2x را برای به دست آوردن 46x ترکیب کنید.

$$16x^{2}+46x+36=3$$

36 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$16x^{2}+46x=3-36$$

تفریق 36 را از 3 برای به دست آوردن -33 تفریق کنید.

$$16x^{2}+46x=-33$$

هر دو طرف بر 16 تقسیم شوند.

$$\frac{16x^{2}+46x}{16}=-\frac{33}{16}$$

تقسیم بر 16، ضرب در 16 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{46}{16}x=-\frac{33}{16}$$

کسر \frac{46}{16} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x=-\frac{33}{16}$$

\frac{23}{8}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{23}{16} شود. سپس مجذور \frac{23}{16} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x+\left(\frac{23}{16}\right)^{2}=-\frac{33}{16}+\left(\frac{23}{16}\right)^{2}$$

\frac{23}{16} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x+\frac{529}{256}=-\frac{33}{16}+\frac{529}{256}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{33}{16} را به \frac{529}{256} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x+\frac{529}{256}=\frac{1}{256}$$

عامل x^{2}+\frac{23}{8}x+\frac{529}{256}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{23}{16}\right)^{2}=\frac{1}{256}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{23}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{256}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{23}{16}=\frac{1}{16} x+\frac{23}{16}=-\frac{1}{16}$$

\frac{23}{16} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-\frac{11}{8} x=-\frac{3}{2}$$