حل (4sqrt{3}+frac{xsqrt{3}}{2})^2+x^2/4=156

$$( 4 \sqrt { 3 } + \frac { x \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 156$$

برای x حل کنید

$$x=-18$$

$$x=6$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

هر دو طرف معادله را در 4 ضرب کنید.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2} استفاده کنید.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

مجذور \sqrt{3} عبارت است از 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

16 و 3 را برای دستیابی به 48 ضرب کنید.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

بزرگترین عامل مشترک را از2 در 8 و 2 کم کنید.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

برای به توان رساندن \frac{x\sqrt{3}}{2}، صورت و مخرج کسر را به توان برسانید و سپس تقسیم کنید.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

برای اضافه کردن یا تفریق عبارت‌ها، آنها را گسترش دهید تا مخرج آنها یکی شود. 48 بار \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

از آنجا که \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} و \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} دارای مخرج مشترک هستند، با افزودن صورت کسرها آنها را جمع کنید.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

از اموال توزیعی برای ضرب 4 در \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3} استفاده کنید.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

2 را به توان 2 محاسبه کنید و 4 را به دست آورید.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

48 و 4 را برای دستیابی به 192 ضرب کنید.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\left(x\sqrt{3}\right)^{2} را بسط دهید.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

مجذور \sqrt{3} عبارت است از 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

2 را به توان 2 محاسبه کنید و 4 را به دست آورید.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} را به عنوان یک کسر تکی نشان دهید.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

4 و 4 را ساده کنید.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

مجذور \sqrt{3} عبارت است از 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

16 و 3 را برای دستیابی به 48 ضرب کنید.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

x^{2}\times 3 و x^{2} را برای به دست آوردن 4x^{2} ترکیب کنید.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

624 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

تفریق 624 را از 192 برای به دست آوردن -432 تفریق کنید.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$-108+x^{2}+12x=0$$

چندجمله‌ای را برای قرار دادن در قالب استاندارد، دوباره مرتب کنید. جملات را از بیشترین به کمترین قرار دهید.

$$x^{2}+12x-108=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت x^{2}+ax+bx-108 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=12 ab=1\left(-108\right)=-108$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -108 است فهرست کنید.

$$-1,108 -2,54 -3,36 -4,27 -6,18 -9,12$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+108=107 -2+54=52 -3+36=33 -4+27=23 -6+18=12 -9+12=3$$

جواب زوجی است که مجموع آن 12 است.

$$a=-6 b=18$$

x^{2}+12x-108 را به‌عنوان \left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right) بازنویسی کنید.

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 18 فاکتور بگیرید.

$$x\left(x-6\right)+18\left(x-6\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-6 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-6\right)\left(x+18\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-6=0 و x+18=0 را حل کنید.

$$x=6 x=-18$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

هر دو طرف معادله را در 4 ضرب کنید.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2} استفاده کنید.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

مجذور \sqrt{3} عبارت است از 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

16 و 3 را برای دستیابی به 48 ضرب کنید.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

بزرگترین عامل مشترک را از2 در 8 و 2 کم کنید.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

برای به توان رساندن \frac{x\sqrt{3}}{2}، صورت و مخرج کسر را به توان برسانید و سپس تقسیم کنید.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

برای اضافه کردن یا تفریق عبارت‌ها، آنها را گسترش دهید تا مخرج آنها یکی شود. 48 بار \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

از آنجا که \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} و \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} دارای مخرج مشترک هستند، با افزودن صورت کسرها آنها را جمع کنید.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

از اموال توزیعی برای ضرب 4 در \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3} استفاده کنید.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

2 را به توان 2 محاسبه کنید و 4 را به دست آورید.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

48 و 4 را برای دستیابی به 192 ضرب کنید.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\left(x\sqrt{3}\right)^{2} را بسط دهید.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

مجذور \sqrt{3} عبارت است از 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

2 را به توان 2 محاسبه کنید و 4 را به دست آورید.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} را به عنوان یک کسر تکی نشان دهید.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

4 و 4 را ساده کنید.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

مجذور \sqrt{3} عبارت است از 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

16 و 3 را برای دستیابی به 48 ضرب کنید.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

x^{2}\times 3 و x^{2} را برای به دست آوردن 4x^{2} ترکیب کنید.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

624 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

تفریق 624 را از 192 برای به دست آوردن -432 تفریق کنید.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$4x^{2}+48x-432=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 4 را با a، 48 را با b و -432 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

48 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

-4 بار 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

-16 بار -432.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+6912}}{2\times 4}$$

2304 را به 6912 اضافه کنید.

$$x=\frac{-48±\sqrt{9216}}{2\times 4}$$

ریشه دوم 9216 را به دست آورید.

$$x=\frac{-48±96}{2\times 4}$$

2 بار 4.

$$x=\frac{-48±96}{8}$$

اکنون معادله x=\frac{-48±96}{8} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -48 را به 96 اضافه کنید.

$$x=\frac{48}{8}$$

48 را بر 8 تقسیم کنید.

$$x=6$$

اکنون معادله x=\frac{-48±96}{8} وقتی که ± منفی است حل کنید. 96 را از -48 تفریق کنید.

$$x=-\frac{144}{8}$$

-144 را بر 8 تقسیم کنید.

$$x=-18$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=6 x=-18$$

مراحل برای تکمیل مربع

هر دو طرف معادله را در 4 ضرب کنید.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2} استفاده کنید.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

مجذور \sqrt{3} عبارت است از 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

16 و 3 را برای دستیابی به 48 ضرب کنید.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

بزرگترین عامل مشترک را از2 در 8 و 2 کم کنید.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

برای به توان رساندن \frac{x\sqrt{3}}{2}، صورت و مخرج کسر را به توان برسانید و سپس تقسیم کنید.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

برای اضافه کردن یا تفریق عبارت‌ها، آنها را گسترش دهید تا مخرج آنها یکی شود. 48 بار \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

از آنجا که \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} و \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} دارای مخرج مشترک هستند، با افزودن صورت کسرها آنها را جمع کنید.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

از اموال توزیعی برای ضرب 4 در \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3} استفاده کنید.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

2 را به توان 2 محاسبه کنید و 4 را به دست آورید.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

48 و 4 را برای دستیابی به 192 ضرب کنید.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

\left(x\sqrt{3}\right)^{2} را بسط دهید.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

مجذور \sqrt{3} عبارت است از 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

2 را به توان 2 محاسبه کنید و 4 را به دست آورید.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} را به عنوان یک کسر تکی نشان دهید.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

4 و 4 را ساده کنید.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

مجذور \sqrt{3} عبارت است از 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

16 و 3 را برای دستیابی به 48 ضرب کنید.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

x^{2}\times 3 و x^{2} را برای به دست آوردن 4x^{2} ترکیب کنید.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

192 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$4x^{2}+48x=624-192$$

تفریق 192 را از 624 برای به دست آوردن 432 تفریق کنید.

$$4x^{2}+48x=432$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{432}{4}$$

تقسیم بر 4، ضرب در 4 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{432}{4}$$

48 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x^{2}+12x=\frac{432}{4}$$

432 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x^{2}+12x=108$$

12، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل 6 شود. سپس مجذور 6 را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+12x+6^{2}=108+6^{2}$$

6 را مجذور کنید.

$$x^{2}+12x+36=108+36$$

108 را به 36 اضافه کنید.

$$x^{2}+12x+36=144$$

عامل x^{2}+12x+36. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+6\right)^{2}=144$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

ساده کنید.

$$x+6=12 x+6=-12$$

6 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=6 x=-18$$