حل (3x-4)^2-(x+3)^2=0

$$( 3 x - 4 ) ^ { 2 } - ( x + 3 ) ^ { 2 } = 0$$

برای x حل کنید

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(3x-4\right)^{2} استفاده کنید.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(x+3\right)^{2} استفاده کنید.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

برای پیدا کردن متضاد x^{2}+6x+9، متضاد هر اصطلاح پیدا شود.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

9x^{2} و -x^{2} را برای به دست آوردن 8x^{2} ترکیب کنید.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

-24x و -6x را برای به دست آوردن -30x ترکیب کنید.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

تفریق 9 را از 16 برای به دست آوردن 7 تفریق کنید.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 8x^{2}+ax+bx+7 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-30 ab=8\times 7=56$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 56 است فهرست کنید.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

جواب زوجی است که مجموع آن -30 است.

$$a=-28 b=-2$$

8x^{2}-30x+7 را به‌عنوان \left(8x^{2}-28x\right)+\left(-2x+7\right) بازنویسی کنید.

$$\left(8x^{2}-28x\right)+\left(-2x+7\right)$$

در گروه اول از 4x و در گروه دوم از -1 فاکتور بگیرید.

$$4x\left(2x-7\right)-\left(2x-7\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2x-7 فاکتور بگیرید.

$$\left(2x-7\right)\left(4x-1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 2x-7=0 و 4x-1=0 را حل کنید.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(3x-4\right)^{2} استفاده کنید.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(x+3\right)^{2} استفاده کنید.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

برای پیدا کردن متضاد x^{2}+6x+9، متضاد هر اصطلاح پیدا شود.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

9x^{2} و -x^{2} را برای به دست آوردن 8x^{2} ترکیب کنید.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

-24x و -6x را برای به دست آوردن -30x ترکیب کنید.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

تفریق 9 را از 16 برای به دست آوردن 7 تفریق کنید.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 8 را با a، -30 را با b و 7 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 8\times 7}}{2\times 8}$$

-30 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 8\times 7}}{2\times 8}$$

-4 بار 8.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-32\times 7}}{2\times 8}$$

-32 بار 7.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-224}}{2\times 8}$$

900 را به -224 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

ریشه دوم 676 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±26}{2\times 8}$$

متضاد -30 عبارت است از 30.

$$x=\frac{30±26}{2\times 8}$$

2 بار 8.

$$x=\frac{30±26}{16}$$

اکنون معادله x=\frac{30±26}{16} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 30 را به 26 اضافه کنید.

$$x=\frac{56}{16}$$

کسر \frac{56}{16} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 8، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{7}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{30±26}{16} وقتی که ± منفی است حل کنید. 26 را از 30 تفریق کنید.

$$x=\frac{4}{16}$$

کسر \frac{4}{16} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{1}{4}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$

مراحل برای تکمیل مربع

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(3x-4\right)^{2} استفاده کنید.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(x+3\right)^{2} استفاده کنید.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

برای پیدا کردن متضاد x^{2}+6x+9، متضاد هر اصطلاح پیدا شود.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

9x^{2} و -x^{2} را برای به دست آوردن 8x^{2} ترکیب کنید.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

-24x و -6x را برای به دست آوردن -30x ترکیب کنید.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

تفریق 9 را از 16 برای به دست آوردن 7 تفریق کنید.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

7 را از هر دو طرف تفریق کنید. هر چیزی که از صفر کم می‌شود، منفی خودش می‌شود.

$$8x^{2}-30x=-7$$

هر دو طرف بر 8 تقسیم شوند.

$$\frac{8x^{2}-30x}{8}=-\frac{7}{8}$$

تقسیم بر 8، ضرب در 8 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{8}\right)x=-\frac{7}{8}$$

کسر \frac{-30}{8} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x=-\frac{7}{8}$$

-\frac{15}{4}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{15}{8} شود. سپس مجذور -\frac{15}{8} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}$$

-\frac{15}{8} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=-\frac{7}{8}+\frac{225}{64}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{7}{8} را به \frac{225}{64} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=\frac{169}{64}$$

عامل x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}. در کل، هنگامی که x^{2}+bx+c یک مربع است، همیشه می‌تواند به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{15}{8}=\frac{13}{8} x-\frac{15}{8}=-\frac{13}{8}$$

\frac{15}{8} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$