حل (3x+1)^2=9

$$( 3 x + 1 ) ^ { 2 } = 9$$

برای x حل کنید

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(3x+1\right)^{2} استفاده کنید.

$$9x^{2}+6x+1=9$$

9 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$9x^{2}+6x+1-9=0$$

تفریق 9 را از 1 برای به دست آوردن -8 تفریق کنید.

$$9x^{2}+6x-8=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 9x^{2}+ax+bx-8 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=6 ab=9\left(-8\right)=-72$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -72 است فهرست کنید.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

جواب زوجی است که مجموع آن 6 است.

$$a=-6 b=12$$

9x^{2}+6x-8 را به‌عنوان \left(9x^{2}-6x\right)+\left(12x-8\right) بازنویسی کنید.

$$\left(9x^{2}-6x\right)+\left(12x-8\right)$$

در گروه اول از 3x و در گروه دوم از 4 فاکتور بگیرید.

$$3x\left(3x-2\right)+4\left(3x-2\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3x-2 فاکتور بگیرید.

$$\left(3x-2\right)\left(3x+4\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 3x-2=0 و 3x+4=0 را حل کنید.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{4}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(3x+1\right)^{2} استفاده کنید.

$$9x^{2}+6x+1=9$$

9 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$9x^{2}+6x+1-9=0$$

تفریق 9 را از 1 برای به دست آوردن -8 تفریق کنید.

$$9x^{2}+6x-8=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 9 را با a، 6 را با b و -8 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

6 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

-4 بار 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

-36 بار -8.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+288}}{2\times 9}$$

36 را به 288 اضافه کنید.

$$x=\frac{-6±\sqrt{324}}{2\times 9}$$

ریشه دوم 324 را به دست آورید.

$$x=\frac{-6±18}{2\times 9}$$

2 بار 9.

$$x=\frac{-6±18}{18}$$

اکنون معادله x=\frac{-6±18}{18} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -6 را به 18 اضافه کنید.

$$x=\frac{12}{18}$$

کسر \frac{12}{18} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{2}{3}$$

اکنون معادله x=\frac{-6±18}{18} وقتی که ± منفی است حل کنید. 18 را از -6 تفریق کنید.

$$x=-\frac{24}{18}$$

کسر \frac{-24}{18} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{4}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{4}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(3x+1\right)^{2} استفاده کنید.

$$9x^{2}+6x+1=9$$

1 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$9x^{2}+6x=9-1$$

تفریق 1 را از 9 برای به دست آوردن 8 تفریق کنید.

$$9x^{2}+6x=8$$

هر دو طرف بر 9 تقسیم شوند.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=\frac{8}{9}$$

تقسیم بر 9، ضرب در 9 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=\frac{8}{9}$$

کسر \frac{6}{9} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 3، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{8}{9}$$

\frac{2}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{1}{3} شود. سپس مجذور \frac{1}{3} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{8}{9}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

\frac{1}{3} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{8+1}{9}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{8}{9} را به \frac{1}{9} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=1$$

عامل x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=1$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{1}{3}=1 x+\frac{1}{3}=-1$$

\frac{1}{3} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{4}{3}$$