حل (3-2x)^2-(5-x)(5+x)=-20

$$( 3 - 2 x ) ^ { 2 } - ( 5 - x ) ( 5 + x ) = - 20$$

برای x حل کنید

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

$$x=2$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(3-2x\right)^{2} استفاده کنید.

$$9-12x+4x^{2}-\left(5-x\right)\left(5+x\right)=-20$$

\left(5-x\right)\left(5+x\right) را در نظر بگیرید. عمل ضرب را می‌توان با استفاده از قاعده \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} به تفاضل مربع‌ها تغییر داد. 5 را مجذور کنید.

$$9-12x+4x^{2}-\left(25-x^{2}\right)=-20$$

برای پیدا کردن متضاد 25-x^{2}، متضاد هر اصطلاح پیدا شود.

$$9-12x+4x^{2}-25+x^{2}=-20$$

تفریق 25 را از 9 برای به دست آوردن -16 تفریق کنید.

$$-16-12x+4x^{2}+x^{2}=-20$$

4x^{2} و x^{2} را برای به دست آوردن 5x^{2} ترکیب کنید.

$$-16-12x+5x^{2}=-20$$

20 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$-16-12x+5x^{2}+20=0$$

-16 و 20 را برای دریافت 4 اضافه کنید.

$$4-12x+5x^{2}=0$$

چندجمله‌ای را برای قرار دادن در قالب استاندارد، دوباره مرتب کنید. جملات را از بیشترین به کمترین قرار دهید.

$$5x^{2}-12x+4=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 5x^{2}+ax+bx+4 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-12 ab=5\times 4=20$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 20 است فهرست کنید.

$$-1,-20 -2,-10 -4,-5$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-20=-21 -2-10=-12 -4-5=-9$$

جواب زوجی است که مجموع آن -12 است.

$$a=-10 b=-2$$

5x^{2}-12x+4 را به‌عنوان \left(5x^{2}-10x\right)+\left(-2x+4\right) بازنویسی کنید.

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(-2x+4\right)$$

در گروه اول از 5x و در گروه دوم از -2 فاکتور بگیرید.

$$5x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-2 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-2\right)\left(5x-2\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-2=0 و 5x-2=0 را حل کنید.

$$x=2 x=\frac{2}{5}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(3-2x\right)^{2} استفاده کنید.

$$9-12x+4x^{2}-\left(5-x\right)\left(5+x\right)=-20$$

\left(5-x\right)\left(5+x\right) را در نظر بگیرید. عمل ضرب را می‌توان با استفاده از قاعده \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} به تفاضل مربع‌ها تغییر داد. 5 را مجذور کنید.

$$9-12x+4x^{2}-\left(25-x^{2}\right)=-20$$

برای پیدا کردن متضاد 25-x^{2}، متضاد هر اصطلاح پیدا شود.

$$9-12x+4x^{2}-25+x^{2}=-20$$

تفریق 25 را از 9 برای به دست آوردن -16 تفریق کنید.

$$-16-12x+4x^{2}+x^{2}=-20$$

4x^{2} و x^{2} را برای به دست آوردن 5x^{2} ترکیب کنید.

$$-16-12x+5x^{2}=-20$$

20 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$-16-12x+5x^{2}+20=0$$

-16 و 20 را برای دریافت 4 اضافه کنید.

$$4-12x+5x^{2}=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$5x^{2}-12x+4=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 5 را با a، -12 را با b و 4 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

-12 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

-4 بار 5.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-20\times 4}}{2\times 5}$$

-20 بار 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-80}}{2\times 5}$$

144 را به -80 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{64}}{2\times 5}$$

ریشه دوم 64 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±8}{2\times 5}$$

متضاد -12 عبارت است از 12.

$$x=\frac{12±8}{2\times 5}$$

2 بار 5.

$$x=\frac{12±8}{10}$$

اکنون معادله x=\frac{12±8}{10} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 12 را به 8 اضافه کنید.

$$x=\frac{20}{10}$$

20 را بر 10 تقسیم کنید.

$$x=2$$

اکنون معادله x=\frac{12±8}{10} وقتی که ± منفی است حل کنید. 8 را از 12 تفریق کنید.

$$x=\frac{4}{10}$$

کسر \frac{4}{10} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{2}{5}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=2 x=\frac{2}{5}$$

مراحل برای تکمیل مربع

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(3-2x\right)^{2} استفاده کنید.

$$9-12x+4x^{2}-\left(5-x\right)\left(5+x\right)=-20$$

\left(5-x\right)\left(5+x\right) را در نظر بگیرید. عمل ضرب را می‌توان با استفاده از قاعده \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} به تفاضل مربع‌ها تغییر داد. 5 را مجذور کنید.

$$9-12x+4x^{2}-\left(25-x^{2}\right)=-20$$

برای پیدا کردن متضاد 25-x^{2}، متضاد هر اصطلاح پیدا شود.

$$9-12x+4x^{2}-25+x^{2}=-20$$

تفریق 25 را از 9 برای به دست آوردن -16 تفریق کنید.

$$-16-12x+4x^{2}+x^{2}=-20$$

4x^{2} و x^{2} را برای به دست آوردن 5x^{2} ترکیب کنید.

$$-16-12x+5x^{2}=-20$$

16 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$-12x+5x^{2}=-20+16$$

-20 و 16 را برای دریافت -4 اضافه کنید.

$$-12x+5x^{2}=-4$$

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$5x^{2}-12x=-4$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$\frac{5x^{2}-12x}{5}=-\frac{4}{5}$$

تقسیم بر 5، ضرب در 5 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=-\frac{4}{5}$$

-\frac{12}{5}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{6}{5} شود. سپس مجذور -\frac{6}{5} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

-\frac{6}{5} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=-\frac{4}{5}+\frac{36}{25}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{4}{5} را به \frac{36}{25} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{16}{25}$$

عامل x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{6}{5}=\frac{4}{5} x-\frac{6}{5}=-\frac{4}{5}$$

\frac{6}{5} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=2 x=\frac{2}{5}$$