حل (22+51x-10x^2)_{max}

$$( 22 + 51 x - 10 x ^ { 2 } ) _ { \max }$$

عامل

$$-\left(2x-11\right)\left(5x+2\right)$$

مراحل راه‌حل

چندجمله‌ای را برای قرار دادن در قالب استاندارد، دوباره مرتب کنید. جملات را از بیشترین به کمترین قرار دهید.

$$-10x^{2}+51x+22$$

با گروه‌بندی عبارت، از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، عبارت باید به‌صورت -10x^{2}+ax+bx+22 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=51 ab=-10\times 22=-220$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -220 است فهرست کنید.

$$-1,220 -2,110 -4,55 -5,44 -10,22 -11,20$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+220=219 -2+110=108 -4+55=51 -5+44=39 -10+22=12 -11+20=9$$

جواب زوجی است که مجموع آن 51 است.

$$a=55 b=-4$$

-10x^{2}+51x+22 را به‌عنوان \left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right) بازنویسی کنید.

$$\left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right)$$

در گروه اول از -5x و در گروه دوم از -2 فاکتور بگیرید.

$$-5x\left(2x-11\right)-2\left(2x-11\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2x-11 فاکتور بگیرید.

$$\left(2x-11\right)\left(-5x-2\right)$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

چند جمله‌ای درجه دوم را می‌توان با استفاده از تبدیل ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور گرفت، به طوری که x_{1} و x_{2} راه حل معادله درجه دوم ax^{2}+bx+c=0 است.

$$-10x^{2}+51x+22=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

51 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

-4 بار -10.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+40\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

40 بار 22.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+880}}{2\left(-10\right)}$$

2601 را به 880 اضافه کنید.

$$x=\frac{-51±\sqrt{3481}}{2\left(-10\right)}$$

ریشه دوم 3481 را به دست آورید.

$$x=\frac{-51±59}{2\left(-10\right)}$$

2 بار -10.

$$x=\frac{-51±59}{-20}$$

اکنون معادله x=\frac{-51±59}{-20} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -51 را به 59 اضافه کنید.

$$x=\frac{8}{-20}$$

کسر \frac{8}{-20} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{2}{5}$$

اکنون معادله x=\frac{-51±59}{-20} وقتی که ± منفی است حل کنید. 59 را از -51 تفریق کنید.

$$x=-\frac{110}{-20}$$

کسر \frac{-110}{-20} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 10، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{11}{2}$$

عبارت اصلی را با استفاده از ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور بگیرید. -\frac{2}{5} را برای x_{1} و \frac{11}{2} را برای x_{2} جایگزین کنید.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

همه عبارت‌های فرم p-\left(-q\right) را به p+q ساده کنید.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x+\frac{2}{5}\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{2}{5} را به x اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

با یافتن یک مخرج مشترک و تفریق صورت‌های کسر، \frac{11}{2} را از x تفریق کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\times \frac{-2x+11}{-2}$$

با ضرب صورت کسر در صورت کسر و مخرج کسر در مخرج کسر، \frac{-5x-2}{-5} را در \frac{-2x+11}{-2} ضرب کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین جمله ممکن ساده کنید.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{-5\left(-2\right)}$$

-5 بار -2.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{10}$$

بزرگترین عامل مشترک را از10 در -10 و 10 کم کنید.

$$-10x^{2}+51x+22=-\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)$$

ارزیابی

$$22+51x-10x^{2}$$