حل (2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

برای x حل کنید

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2.195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2.195955879$$

$$x=1$$

مراحل راه‌حل

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(2x+4\right)^{2} استفاده کنید.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(3x-2\right)^{2} استفاده کنید.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

برای پیدا کردن متضاد 9x^{2}-12x+4، متضاد هر اصطلاح پیدا شود.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

-9x^{2} و -40x^{2} را برای به دست آوردن -49x^{2} ترکیب کنید.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

205 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

-4 و 205 را برای دریافت 201 اضافه کنید.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

از اموال توزیعی برای ضرب -5x در 7-3x استفاده کنید.

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

از ویژگی توزیعی برای ضرب -35x+15x^{2} در 7+3x استفاده و اصطلاحات مشابه را با هم یکی کنید.

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

16x و -245x را برای به دست آوردن -229x ترکیب کنید.

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

4x^{2} و -49x^{2} را برای به دست آوردن -45x^{2} ترکیب کنید.

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

-229x و 12x را برای به دست آوردن -217x ترکیب کنید.

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

16 و 201 را برای دریافت 217 اضافه کنید.

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

معادله را برای قرار دادن در قالب استاندارد، دوباره مرتب کنید. جملات را از بیشترین به کمترین قرار دهید.

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت 217 و q به عامل پیشگام 45 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=1$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. 45x^{3}-45x^{2}-217x+217 را بر x-1 برای به دست آوردن 45x^{2}-217 تقسیم کنید. معادله را حل کنید به‌طوری‌که در آن نتیجه مساوی 0 باشد.

$$45x^{2}-217=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 45 را با a، 0 را با b، و -217 را با c جایگزین کنید.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

معادله 45x^{2}-217=0 را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

تمام جواب‌های یافت‌شده را فهرست کنید.

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$