حل (2x+3)(x^2-16)+(x-4)(x+40)=2(x-4)(x^2-16)

$$( 2 x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 16 ) + ( x - 4 ) ( x + 40 ) = 2 ( x - 4 ) ( x ^ { 2 } - 16 )$$

برای x حل کنید

$$x=-7$$

$$x=4$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

از اموال توزیعی برای ضرب 2x+3 در x^{2}-16 استفاده کنید.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

از ویژگی توزیعی برای ضرب x-4 در x+40 استفاده و اصطلاحات مشابه را با هم یکی کنید.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

3x^{2} و x^{2} را برای به دست آوردن 4x^{2} ترکیب کنید.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

-32x و 36x را برای به دست آوردن 4x ترکیب کنید.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

تفریق 160 را از -48 برای به دست آوردن -208 تفریق کنید.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 2 در x-4 استفاده کنید.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 2x-8 در x^{2}-16 استفاده کنید.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

2x^{3} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

2x^{3} و -2x^{3} را برای به دست آوردن 0 ترکیب کنید.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

32x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

4x و 32x را برای به دست آوردن 36x ترکیب کنید.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

8x^{2} را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

4x^{2} و 8x^{2} را برای به دست آوردن 12x^{2} ترکیب کنید.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

128 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

تفریق 128 را از -208 برای به دست آوردن -336 تفریق کنید.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

هر دو طرف بر 12 تقسیم شوند.

$$3x+x^{2}-28=0$$

چندجمله‌ای را برای قرار دادن در قالب استاندارد، دوباره مرتب کنید. جملات را از بیشترین به کمترین قرار دهید.

$$x^{2}+3x-28=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت x^{2}+ax+bx-28 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -28 است فهرست کنید.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

جواب زوجی است که مجموع آن 3 است.

$$a=-4 b=7$$

x^{2}+3x-28 را به‌عنوان \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right) بازنویسی کنید.

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 7 فاکتور بگیرید.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-4 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-4=0 و x+7=0 را حل کنید.

$$x=4 x=-7$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

از اموال توزیعی برای ضرب 2x+3 در x^{2}-16 استفاده کنید.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

از ویژگی توزیعی برای ضرب x-4 در x+40 استفاده و اصطلاحات مشابه را با هم یکی کنید.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

3x^{2} و x^{2} را برای به دست آوردن 4x^{2} ترکیب کنید.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

-32x و 36x را برای به دست آوردن 4x ترکیب کنید.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

تفریق 160 را از -48 برای به دست آوردن -208 تفریق کنید.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 2 در x-4 استفاده کنید.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 2x-8 در x^{2}-16 استفاده کنید.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

2x^{3} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

2x^{3} و -2x^{3} را برای به دست آوردن 0 ترکیب کنید.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

32x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

4x و 32x را برای به دست آوردن 36x ترکیب کنید.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

8x^{2} را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

4x^{2} و 8x^{2} را برای به دست آوردن 12x^{2} ترکیب کنید.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

128 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

تفریق 128 را از -208 برای به دست آوردن -336 تفریق کنید.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$12x^{2}+36x-336=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 12 را با a، 36 را با b و -336 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

36 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

-4 بار 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

-48 بار -336.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+16128}}{2\times 12}$$

1296 را به 16128 اضافه کنید.

$$x=\frac{-36±\sqrt{17424}}{2\times 12}$$

ریشه دوم 17424 را به دست آورید.

$$x=\frac{-36±132}{2\times 12}$$

2 بار 12.

$$x=\frac{-36±132}{24}$$

اکنون معادله x=\frac{-36±132}{24} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -36 را به 132 اضافه کنید.

$$x=\frac{96}{24}$$

96 را بر 24 تقسیم کنید.

$$x=4$$

اکنون معادله x=\frac{-36±132}{24} وقتی که ± منفی است حل کنید. 132 را از -36 تفریق کنید.

$$x=-\frac{168}{24}$$

-168 را بر 24 تقسیم کنید.

$$x=-7$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=4 x=-7$$

مراحل برای تکمیل مربع

از اموال توزیعی برای ضرب 2x+3 در x^{2}-16 استفاده کنید.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

از ویژگی توزیعی برای ضرب x-4 در x+40 استفاده و اصطلاحات مشابه را با هم یکی کنید.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

3x^{2} و x^{2} را برای به دست آوردن 4x^{2} ترکیب کنید.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

-32x و 36x را برای به دست آوردن 4x ترکیب کنید.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

تفریق 160 را از -48 برای به دست آوردن -208 تفریق کنید.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 2 در x-4 استفاده کنید.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 2x-8 در x^{2}-16 استفاده کنید.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

2x^{3} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

2x^{3} و -2x^{3} را برای به دست آوردن 0 ترکیب کنید.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

32x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

4x و 32x را برای به دست آوردن 36x ترکیب کنید.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

8x^{2} را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

4x^{2} و 8x^{2} را برای به دست آوردن 12x^{2} ترکیب کنید.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

208 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$36x+12x^{2}=128+208$$

128 و 208 را برای دریافت 336 اضافه کنید.

$$36x+12x^{2}=336$$

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$12x^{2}+36x=336$$

هر دو طرف بر 12 تقسیم شوند.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=\frac{336}{12}$$

تقسیم بر 12، ضرب در 12 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=\frac{336}{12}$$

36 را بر 12 تقسیم کنید.

$$x^{2}+3x=\frac{336}{12}$$

336 را بر 12 تقسیم کنید.

$$x^{2}+3x=28$$

3، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{3}{2} شود. سپس مجذور \frac{3}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

\frac{3}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

28 را به \frac{9}{4} اضافه کنید.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

عامل x^{2}+3x+\frac{9}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

\frac{3}{2} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=4 x=-7$$