حل (2x+3)^2-15^2=10^2-(x-1)^2

$$( 2 x + 3 ) ^ { 2 } - 15 ^ { 2 } = 10 ^ { 2 } - ( x - 1 ) ^ { 2 }$$

برای x حل کنید

$$x=-9$$

$$x=7$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(2x+3\right)^{2} استفاده کنید.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

15 را به توان 2 محاسبه کنید و 225 را به دست آورید.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

تفریق 225 را از 9 برای به دست آوردن -216 تفریق کنید.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

10 را به توان 2 محاسبه کنید و 100 را به دست آورید.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(x-1\right)^{2} استفاده کنید.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

برای پیدا کردن متضاد x^{2}-2x+1، متضاد هر اصطلاح پیدا شود.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

تفریق 1 را از 100 برای به دست آوردن 99 تفریق کنید.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

99 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$4x^{2}+12x-216-99=-x^{2}+2x$$

تفریق 99 را از -216 برای به دست آوردن -315 تفریق کنید.

$$4x^{2}+12x-315=-x^{2}+2x$$

x^{2} را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$4x^{2}+12x-315+x^{2}=2x$$

4x^{2} و x^{2} را برای به دست آوردن 5x^{2} ترکیب کنید.

$$5x^{2}+12x-315=2x$$

2x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$5x^{2}+12x-315-2x=0$$

12x و -2x را برای به دست آوردن 10x ترکیب کنید.

$$5x^{2}+10x-315=0$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$x^{2}+2x-63=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت x^{2}+ax+bx-63 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=2 ab=1\left(-63\right)=-63$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -63 است فهرست کنید.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

جواب زوجی است که مجموع آن 2 است.

$$a=-7 b=9$$

x^{2}+2x-63 را به‌عنوان \left(x^{2}-7x\right)+\left(9x-63\right) بازنویسی کنید.

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(9x-63\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 9 فاکتور بگیرید.

$$x\left(x-7\right)+9\left(x-7\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-7 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-7\right)\left(x+9\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-7=0 و x+9=0 را حل کنید.

$$x=7 x=-9$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(2x+3\right)^{2} استفاده کنید.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

15 را به توان 2 محاسبه کنید و 225 را به دست آورید.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

تفریق 225 را از 9 برای به دست آوردن -216 تفریق کنید.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

10 را به توان 2 محاسبه کنید و 100 را به دست آورید.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(x-1\right)^{2} استفاده کنید.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

برای پیدا کردن متضاد x^{2}-2x+1، متضاد هر اصطلاح پیدا شود.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

تفریق 1 را از 100 برای به دست آوردن 99 تفریق کنید.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

99 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$4x^{2}+12x-216-99=-x^{2}+2x$$

تفریق 99 را از -216 برای به دست آوردن -315 تفریق کنید.

$$4x^{2}+12x-315=-x^{2}+2x$$

x^{2} را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$4x^{2}+12x-315+x^{2}=2x$$

4x^{2} و x^{2} را برای به دست آوردن 5x^{2} ترکیب کنید.

$$5x^{2}+12x-315=2x$$

2x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$5x^{2}+12x-315-2x=0$$

12x و -2x را برای به دست آوردن 10x ترکیب کنید.

$$5x^{2}+10x-315=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 5 را با a، 10 را با b و -315 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

10 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

-4 بار 5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

-20 بار -315.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+6300}}{2\times 5}$$

100 را به 6300 اضافه کنید.

$$x=\frac{-10±\sqrt{6400}}{2\times 5}$$

ریشه دوم 6400 را به دست آورید.

$$x=\frac{-10±80}{2\times 5}$$

2 بار 5.

$$x=\frac{-10±80}{10}$$

اکنون معادله x=\frac{-10±80}{10} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -10 را به 80 اضافه کنید.

$$x=\frac{70}{10}$$

70 را بر 10 تقسیم کنید.

$$x=7$$

اکنون معادله x=\frac{-10±80}{10} وقتی که ± منفی است حل کنید. 80 را از -10 تفریق کنید.

$$x=-\frac{90}{10}$$

-90 را بر 10 تقسیم کنید.

$$x=-9$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=7 x=-9$$

مراحل برای تکمیل مربع

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(2x+3\right)^{2} استفاده کنید.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

15 را به توان 2 محاسبه کنید و 225 را به دست آورید.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

تفریق 225 را از 9 برای به دست آوردن -216 تفریق کنید.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

10 را به توان 2 محاسبه کنید و 100 را به دست آورید.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(x-1\right)^{2} استفاده کنید.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

برای پیدا کردن متضاد x^{2}-2x+1، متضاد هر اصطلاح پیدا شود.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

تفریق 1 را از 100 برای به دست آوردن 99 تفریق کنید.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

x^{2} را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$4x^{2}+12x-216+x^{2}=99+2x$$

4x^{2} و x^{2} را برای به دست آوردن 5x^{2} ترکیب کنید.

$$5x^{2}+12x-216=99+2x$$

2x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$5x^{2}+12x-216-2x=99$$

12x و -2x را برای به دست آوردن 10x ترکیب کنید.

$$5x^{2}+10x-216=99$$

216 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$5x^{2}+10x=99+216$$

99 و 216 را برای دریافت 315 اضافه کنید.

$$5x^{2}+10x=315$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$\frac{5x^{2}+10x}{5}=\frac{315}{5}$$

تقسیم بر 5، ضرب در 5 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{10}{5}x=\frac{315}{5}$$

10 را بر 5 تقسیم کنید.

$$x^{2}+2x=\frac{315}{5}$$

315 را بر 5 تقسیم کنید.

$$x^{2}+2x=63$$

2، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل 1 شود. سپس مجذور 1 را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+2x+1^{2}=63+1^{2}$$

1 را مجذور کنید.

$$x^{2}+2x+1=63+1$$

63 را به 1 اضافه کنید.

$$x^{2}+2x+1=64$$

عامل x^{2}+2x+1. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+1\right)^{2}=64$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

ساده کنید.

$$x+1=8 x+1=-8$$

1 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=7 x=-9$$