حل (2x+1)^2=1+(x-1)(x+1)

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = 1 + ( x - 1 ) ( x + 1 )$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=-1$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(2x+1\right)^{2} استفاده کنید.

$$4x^{2}+4x+1=1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

\left(x-1\right)\left(x+1\right) را در نظر بگیرید. عمل ضرب را می‌توان با استفاده از قاعده \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} به تفاضل مربع‌ها تغییر داد. 1 را مجذور کنید.

$$4x^{2}+4x+1=1+x^{2}-1$$

تفریق 1 را از 1 برای به دست آوردن 0 تفریق کنید.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}$$

x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=0$$

4x^{2} و -x^{2} را برای به دست آوردن 3x^{2} ترکیب کنید.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3x^{2}+ax+bx+1 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=4 ab=3\times 1=3$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تنها جواب دستگاه این زوج است.

$$a=1 b=3$$

3x^{2}+4x+1 را به‌عنوان \left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right)$$

از x در 3x^{2}+x فاکتور بگیرید.

$$x\left(3x+1\right)+3x+1$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3x+1 فاکتور بگیرید.

$$\left(3x+1\right)\left(x+1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 3x+1=0 و x+1=0 را حل کنید.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(2x+1\right)^{2} استفاده کنید.

$$4x^{2}+4x+1=1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

\left(x-1\right)\left(x+1\right) را در نظر بگیرید. عمل ضرب را می‌توان با استفاده از قاعده \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} به تفاضل مربع‌ها تغییر داد. 1 را مجذور کنید.

$$4x^{2}+4x+1=1+x^{2}-1$$

تفریق 1 را از 1 برای به دست آوردن 0 تفریق کنید.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}$$

x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=0$$

4x^{2} و -x^{2} را برای به دست آوردن 3x^{2} ترکیب کنید.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، 4 را با b و 1 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

4 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12}}{2\times 3}$$

16 را به -12 اضافه کنید.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 4 را به دست آورید.

$$x=\frac{-4±2}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$x=\frac{-4±2}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{-4±2}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -4 را به 2 اضافه کنید.

$$x=-\frac{2}{6}$$

کسر \frac{-2}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{1}{3}$$

اکنون معادله x=\frac{-4±2}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 2 را از -4 تفریق کنید.

$$x=-\frac{6}{6}$$

-6 را بر 6 تقسیم کنید.

$$x=-1$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

مراحل برای تکمیل مربع

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(2x+1\right)^{2} استفاده کنید.

$$4x^{2}+4x+1=1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

\left(x-1\right)\left(x+1\right) را در نظر بگیرید. عمل ضرب را می‌توان با استفاده از قاعده \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} به تفاضل مربع‌ها تغییر داد. 1 را مجذور کنید.

$$4x^{2}+4x+1=1+x^{2}-1$$

تفریق 1 را از 1 برای به دست آوردن 0 تفریق کنید.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}$$

x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=0$$

4x^{2} و -x^{2} را برای به دست آوردن 3x^{2} ترکیب کنید.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

1 را از هر دو طرف تفریق کنید. هر چیزی که از صفر کم می‌شود، منفی خودش می‌شود.

$$3x^{2}+4x=-1$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=-\frac{1}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

\frac{4}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{2}{3} شود. سپس مجذور \frac{2}{3} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

\frac{2}{3} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{1}{3} را به \frac{4}{9} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

عامل x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

\frac{2}{3} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$