حل (2k-3)^2-4(3-2k)<0

$$( 2 k - 3 ) ^ { 2 } - 4 ( 3 - 2 k ) < 0$$

برای k حل کنید

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(2k-3\right)^{2} استفاده کنید.

$$4k^{2}-12k+9-4\left(3-2k\right)<0$$

از اموال توزیعی برای ضرب -4 در 3-2k استفاده کنید.

$$4k^{2}-12k+9-12+8k<0$$

تفریق 12 را از 9 برای به دست آوردن -3 تفریق کنید.

$$4k^{2}-12k-3+8k<0$$

-12k و 8k را برای به دست آوردن -4k ترکیب کنید.

$$4k^{2}-4k-3<0$$

برای حل نامعادله، سمت چپ را فاکتور بگیرید. چند جمله‌ای درجه دوم را می‌توان با استفاده از تبدیل ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور گرفت، به طوری که x_{1} و x_{2} راه حل معادله درجه دوم ax^{2}+bx+c=0 است.

$$4k^{2}-4k-3=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 4 را با a، -4 را با b، و -3 را با c جایگزین کنید.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$k=\frac{4±8}{8}$$

معادله k=\frac{4±8}{8} را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$k=\frac{3}{2} k=-\frac{1}{2}$$

با استفاده از راه‌حل‌های به‌دست‌آمده، نامعادله را بازنویسی کنید.

$$4\left(k-\frac{3}{2}\right)\left(k+\frac{1}{2}\right)<0$$

برای منفی شدن حاصل، k-\frac{3}{2} و k+\frac{1}{2} باید دارای علامت‌های مخالف هم باشند. موردی را در نظر بگیرید که k-\frac{3}{2} مثبت و k+\frac{1}{2} منفی باشد.

$$k-\frac{3}{2}>0 k+\frac{1}{2}<0$$

این برای هر k، غلط است.

$$k\in \emptyset$$

موردی را در نظر بگیرید که k+\frac{1}{2} مثبت و k-\frac{3}{2} منفی باشد.

$$k+\frac{1}{2}>0 k-\frac{3}{2}<0$$

راه‌حل مناسب برای هر دو نامعادله k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right) است.

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

راه حل نهایی اجتماع راه‌حل‌های به‌دست‌آمده است.

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$