حل (100)^2+(x+100)^2=(2x+100)^2

$$( 100 ) ^ { 2 } + ( x + 100 ) ^ { 2 } = ( 2 x + 100 ) ^ { 2 }$$

برای x حل کنید

$$x = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3} \approx 33.333333333$$

$$x=-100$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

100 را به توان 2 محاسبه کنید و 10000 را به دست آورید.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(x+100\right)^{2} استفاده کنید.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

10000 و 10000 را برای دریافت 20000 اضافه کنید.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(2x+100\right)^{2} استفاده کنید.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

4x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

x^{2} و -4x^{2} را برای به دست آوردن -3x^{2} ترکیب کنید.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

400x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

200x و -400x را برای به دست آوردن -200x ترکیب کنید.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

10000 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

تفریق 10000 را از 20000 برای به دست آوردن 10000 تفریق کنید.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

چندجمله‌ای را برای قرار دادن در قالب استاندارد، دوباره مرتب کنید. جملات را از بیشترین به کمترین قرار دهید.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت -3x^{2}+ax+bx+10000 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-200 ab=-3\times 10000=-30000$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -30000 است فهرست کنید.

$$1,-30000 2,-15000 3,-10000 4,-7500 5,-6000 6,-5000 8,-3750 10,-3000 12,-2500 15,-2000 16,-1875 20,-1500 24,-1250 25,-1200 30,-1000 40,-750 48,-625 50,-600 60,-500 75,-400 80,-375 100,-300 120,-250 125,-240 150,-200$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-30000=-29999 2-15000=-14998 3-10000=-9997 4-7500=-7496 5-6000=-5995 6-5000=-4994 8-3750=-3742 10-3000=-2990 12-2500=-2488 15-2000=-1985 16-1875=-1859 20-1500=-1480 24-1250=-1226 25-1200=-1175 30-1000=-970 40-750=-710 48-625=-577 50-600=-550 60-500=-440 75-400=-325 80-375=-295 100-300=-200 120-250=-130 125-240=-115 150-200=-50$$

جواب زوجی است که مجموع آن -200 است.

$$a=100 b=-300$$

-3x^{2}-200x+10000 را به‌عنوان \left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right) بازنویسی کنید.

$$\left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right)$$

در گروه اول از -x و در گروه دوم از -100 فاکتور بگیرید.

$$-x\left(3x-100\right)-100\left(3x-100\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3x-100 فاکتور بگیرید.

$$\left(3x-100\right)\left(-x-100\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 3x-100=0 و -x-100=0 را حل کنید.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

100 را به توان 2 محاسبه کنید و 10000 را به دست آورید.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(x+100\right)^{2} استفاده کنید.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

10000 و 10000 را برای دریافت 20000 اضافه کنید.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(2x+100\right)^{2} استفاده کنید.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

4x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

x^{2} و -4x^{2} را برای به دست آوردن -3x^{2} ترکیب کنید.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

400x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

200x و -400x را برای به دست آوردن -200x ترکیب کنید.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

10000 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

تفریق 10000 را از 20000 برای به دست آوردن 10000 تفریق کنید.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. -3 را با a، -200 را با b و 10000 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{\left(-200\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

-200 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

-4 بار -3.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+12\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

12 بار 10000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+120000}}{2\left(-3\right)}$$

40000 را به 120000 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{160000}}{2\left(-3\right)}$$

ریشه دوم 160000 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±400}{2\left(-3\right)}$$

متضاد -200 عبارت است از 200.

$$x=\frac{200±400}{2\left(-3\right)}$$

2 بار -3.

$$x=\frac{200±400}{-6}$$

اکنون معادله x=\frac{200±400}{-6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 200 را به 400 اضافه کنید.

$$x=\frac{600}{-6}$$

600 را بر -6 تقسیم کنید.

$$x=-100$$

اکنون معادله x=\frac{200±400}{-6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 400 را از 200 تفریق کنید.

$$x=-\frac{200}{-6}$$

کسر \frac{-200}{-6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{100}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-100 x=\frac{100}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

100 را به توان 2 محاسبه کنید و 10000 را به دست آورید.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(x+100\right)^{2} استفاده کنید.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

10000 و 10000 را برای دریافت 20000 اضافه کنید.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(2x+100\right)^{2} استفاده کنید.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

4x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

x^{2} و -4x^{2} را برای به دست آوردن -3x^{2} ترکیب کنید.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

400x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

200x و -400x را برای به دست آوردن -200x ترکیب کنید.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

20000 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-3x^{2}-200x=10000-20000$$

تفریق 20000 را از 10000 برای به دست آوردن -10000 تفریق کنید.

$$-3x^{2}-200x=-10000$$

هر دو طرف بر -3 تقسیم شوند.

$$\frac{-3x^{2}-200x}{-3}=-\frac{10000}{-3}$$

تقسیم بر -3، ضرب در -3 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\left(-\frac{200}{-3}\right)x=-\frac{10000}{-3}$$

-200 را بر -3 تقسیم کنید.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=-\frac{10000}{-3}$$

-10000 را بر -3 تقسیم کنید.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{10000}{3}$$

\frac{200}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{100}{3} شود. سپس مجذور \frac{100}{3} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{10000}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

\frac{100}{3} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{10000}{3}+\frac{10000}{9}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{10000}{3} را به \frac{10000}{9} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{40000}{9}$$

عامل x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{40000}{9}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40000}{9}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{200}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{200}{3}$$

\frac{100}{3} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$