حل (6/25+x)^2x=32

$$( \frac { 6 } { 25 + x } ) ^ { 2 } x = 32$$

برای x حل کنید (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}\approx -24.4375-5.273385416i$$

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}\approx -24.4375+5.273385416i$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

برای به توان رساندن \frac{6}{25+x}، صورت و مخرج کسر را به توان برسانید و سپس تقسیم کنید.

$$\frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x=32$$

\frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x را به عنوان یک کسر تکی نشان دهید.

$$\frac{6^{2}x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

6 را به توان 2 محاسبه کنید و 36 را به دست آورید.

$$\frac{36x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(25+x\right)^{2} استفاده کنید.

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}=32$$

32 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}-32=0$$

625+50x+x^{2} را فاکتور بگیرید.

$$\frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}}-32=0$$

برای اضافه کردن یا تفریق عبارت‌ها، آنها را گسترش دهید تا مخرج آنها یکی شود. 32 بار \frac{\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}.

$$\frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}}-\frac{32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

از آنجا که \frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}} و \frac{32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}} دارای مخرج مشترک هستند، با کم کردن صورت کسرها آنها را تفریق کنید.

$$\frac{36x-32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

عمل ضرب را در 36x-32\left(x+25\right)^{2} انجام دهید.

$$\frac{36x-32x^{2}-1600x-20000}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

جملات با متغیر یکسان را در 36x-32x^{2}-1600x-20000 ترکیب کنید.

$$\frac{-1564x-32x^{2}-20000}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

متغیر x نباید برابر -25 باشد زیرا تقسیم بر صفر تعریف نشده است. هر دو طرف معادله را در \left(x+25\right)^{2} ضرب کنید.

$$-1564x-32x^{2}-20000=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$-32x^{2}-1564x-20000=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. -32 را با a، -1564 را با b و -20000 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{\left(-1564\right)^{2}-4\left(-32\right)\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

-1564 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096-4\left(-32\right)\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

-4 بار -32.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096+128\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

128 بار -20000.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096-2560000}}{2\left(-32\right)}$$

2446096 را به -2560000 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{-113904}}{2\left(-32\right)}$$

ریشه دوم -113904 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±12\sqrt{791}i}{2\left(-32\right)}$$

متضاد -1564 عبارت است از 1564.

$$x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{2\left(-32\right)}$$

2 بار -32.

$$x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64}$$

اکنون معادله x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 1564 را به 12i\sqrt{791} اضافه کنید.

$$x=\frac{1564+12\sqrt{791}i}{-64}$$

1564+12i\sqrt{791} را بر -64 تقسیم کنید.

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}$$

اکنون معادله x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64} وقتی که ± منفی است حل کنید. 12i\sqrt{791} را از 1564 تفریق کنید.

$$x=\frac{-12\sqrt{791}i+1564}{-64}$$

1564-12i\sqrt{791} را بر -64 تقسیم کنید.

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16} x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}$$

مراحل برای تکمیل مربع

برای به توان رساندن \frac{6}{25+x}، صورت و مخرج کسر را به توان برسانید و سپس تقسیم کنید.

$$\frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x=32$$

\frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x را به عنوان یک کسر تکی نشان دهید.

$$\frac{6^{2}x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

6 را به توان 2 محاسبه کنید و 36 را به دست آورید.

$$\frac{36x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(25+x\right)^{2} استفاده کنید.

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}=32$$

متغیر x نباید برابر -25 باشد زیرا تقسیم بر صفر تعریف نشده است. هر دو طرف معادله را در \left(x+25\right)^{2} ضرب کنید.

$$36x=32\left(x+25\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(x+25\right)^{2} استفاده کنید.

$$36x=32\left(x^{2}+50x+625\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 32 در x^{2}+50x+625 استفاده کنید.

$$36x=32x^{2}+1600x+20000$$

32x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$36x-32x^{2}=1600x+20000$$

1600x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$36x-32x^{2}-1600x=20000$$

36x و -1600x را برای به دست آوردن -1564x ترکیب کنید.

$$-1564x-32x^{2}=20000$$

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$-32x^{2}-1564x=20000$$

هر دو طرف بر -32 تقسیم شوند.

$$\frac{-32x^{2}-1564x}{-32}=\frac{20000}{-32}$$

تقسیم بر -32، ضرب در -32 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\left(-\frac{1564}{-32}\right)x=\frac{20000}{-32}$$

کسر \frac{-1564}{-32} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x=\frac{20000}{-32}$$

20000 را بر -32 تقسیم کنید.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x=-625$$

\frac{391}{8}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{391}{16} شود. سپس مجذور \frac{391}{16} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\left(\frac{391}{16}\right)^{2}=-625+\left(\frac{391}{16}\right)^{2}$$

\frac{391}{16} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256}=-625+\frac{152881}{256}$$

-625 را به \frac{152881}{256} اضافه کنید.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256}=-\frac{7119}{256}$$

عامل x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{391}{16}\right)^{2}=-\frac{7119}{256}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{391}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7119}{256}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{391}{16}=\frac{3\sqrt{791}i}{16} x+\frac{391}{16}=-\frac{3\sqrt{791}i}{16}$$

\frac{391}{16} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16} x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}$$