حل z^2-25*10^-12z+16*10^-12=0

$${ z }^{ 2 } -25 \times { 10 }^{ -12 } z+16 \times { 10 }^{ -12 } = 0$$

برای z حل کنید

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{80000000000}\approx 1.25 \cdot 10^{-11}+0.000004i$$

$$z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{80000000000}\approx 1.25 \cdot 10^{-11}-0.000004i$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{62500000000}=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1 را با a، -\frac{1}{40000000000} را با b و \frac{1}{62500000000} را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\sqrt{\left(-\frac{1}{40000000000}\right)^{2}-4\times \frac{1}{62500000000}}}{2}$$

-\frac{1}{40000000000} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\sqrt{\frac{1}{1600000000000000000000}-4\times \frac{1}{62500000000}}}{2}$$

-4 بار \frac{1}{62500000000}.

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\sqrt{\frac{1}{1600000000000000000000}-\frac{1}{15625000000}}}{2}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{1}{1600000000000000000000} را به -\frac{1}{15625000000} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\sqrt{-\frac{102399999999}{1600000000000000000000}}}{2}$$

ریشه دوم -\frac{102399999999}{1600000000000000000000} را به دست آورید.

$$z=\frac{-\left(-\frac{1}{40000000000}\right)±\frac{\sqrt{102399999999}i}{40000000000}}{2}$$

متضاد -\frac{1}{40000000000} عبارت است از \frac{1}{40000000000}.

$$z=\frac{\frac{1}{40000000000}±\frac{\sqrt{102399999999}i}{40000000000}}{2}$$

اکنون معادله z=\frac{\frac{1}{40000000000}±\frac{\sqrt{102399999999}i}{40000000000}}{2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. \frac{1}{40000000000} را به \frac{i\sqrt{102399999999}}{40000000000} اضافه کنید.

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{2\times 40000000000}$$

\frac{1+i\sqrt{102399999999}}{40000000000} را بر 2 تقسیم کنید.

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{80000000000}$$

اکنون معادله z=\frac{\frac{1}{40000000000}±\frac{\sqrt{102399999999}i}{40000000000}}{2} وقتی که ± منفی است حل کنید. \frac{i\sqrt{102399999999}}{40000000000} را از \frac{1}{40000000000} تفریق کنید.

$$z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{2\times 40000000000}$$

\frac{1-i\sqrt{102399999999}}{40000000000} را بر 2 تقسیم کنید.

$$z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{80000000000}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{80000000000} z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{80000000000}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{62500000000}=0$$

\frac{1}{62500000000} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{62500000000}-\frac{1}{62500000000}=-\frac{1}{62500000000}$$

تفریق \frac{1}{62500000000} از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z=-\frac{1}{62500000000}$$

-\frac{1}{40000000000}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{1}{80000000000} شود. سپس مجذور -\frac{1}{80000000000} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\left(-\frac{1}{80000000000}\right)^{2}=-\frac{1}{62500000000}+\left(-\frac{1}{80000000000}\right)^{2}$$

-\frac{1}{80000000000} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{6400000000000000000000}=-\frac{1}{62500000000}+\frac{1}{6400000000000000000000}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{1}{62500000000} را به \frac{1}{6400000000000000000000} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{6400000000000000000000}=-\frac{102399999999}{6400000000000000000000}$$

عامل z^{2}-\frac{1}{40000000000}z+\frac{1}{6400000000000000000000}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(z-\frac{1}{80000000000}\right)^{2}=-\frac{102399999999}{6400000000000000000000}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{80000000000}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{102399999999}{6400000000000000000000}}$$

ساده کنید.

$$z-\frac{1}{80000000000}=\frac{\sqrt{102399999999}i}{80000000000} z-\frac{1}{80000000000}=-\frac{\sqrt{102399999999}i}{80000000000}$$

\frac{1}{80000000000} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$z=\frac{1+\sqrt{102399999999}i}{80000000000} z=\frac{-\sqrt{102399999999}i+1}{80000000000}$$