حل y^2-15y=-54

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

برای y حل کنید

$$y=6$$

$$y=9$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری

54 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$y^{2}-15y+54=0$$

برای حل معادله، با استفاده از فرمول y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) از y^{2}-15y+54 فاکتور بگیرید. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-15 ab=54$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 54 است فهرست کنید.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

جواب زوجی است که مجموع آن -15 است.

$$a=-9 b=-6$$

با استفاده از مقادیر به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده \left(y+a\right)\left(y+b\right) را بازنویسی کنید.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، y-9=0 و y-6=0 را حل کنید.

$$y=9 y=6$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

54 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$y^{2}-15y+54=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت y^{2}+ay+by+54 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 54 است فهرست کنید.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

جواب زوجی است که مجموع آن -15 است.

$$a=-9 b=-6$$

y^{2}-15y+54 را به‌عنوان \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right) بازنویسی کنید.

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

در گروه اول از y و در گروه دوم از -6 فاکتور بگیرید.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک y-9 فاکتور بگیرید.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، y-9=0 و y-6=0 را حل کنید.

$$y=9 y=6$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$y^{2}-15y=-54$$

54 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

تفریق -54 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

-54 را از 0 تفریق کنید.

$$y^{2}-15y+54=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1 را با a، -15 را با b و 54 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

-15 را مجذور کنید.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

-4 بار 54.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

225 را به -216 اضافه کنید.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

ریشه دوم 9 را به دست آورید.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

متضاد -15 عبارت است از 15.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

اکنون معادله y=\frac{15±3}{2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 15 را به 3 اضافه کنید.

$$y=\frac{18}{2}$$

18 را بر 2 تقسیم کنید.

$$y=9$$

اکنون معادله y=\frac{15±3}{2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 3 را از 15 تفریق کنید.

$$y=\frac{12}{2}$$

12 را بر 2 تقسیم کنید.

$$y=6$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$y=9 y=6$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$y^{2}-15y=-54$$

-15، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{15}{2} شود. سپس مجذور -\frac{15}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

-\frac{15}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

-54 را به \frac{225}{4} اضافه کنید.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

عامل y^{2}-15y+\frac{225}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

ساده کنید.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

\frac{15}{2} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$y=9 y=6$$