حل x^6=((6x^3)-5^3)

$${ x }^{ 6 } =((6 { x }^{ 3 } )- { 5 }^{ 3 } )$$

برای x حل کنید (complex solution)

$$x\in \sqrt{5}e^{\frac{-\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+2\pi i}{3}},\sqrt{5}e^{-\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i}{3}},\sqrt{5}e^{\frac{-\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+4\pi i}{3}},\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+4\pi i}{3}},\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i}{3}},\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+2\pi i}{3}}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

5 را به توان 3 محاسبه کنید و 125 را به دست آورید.

$$x^{6}=6x^{3}-125$$

6x^{3} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x^{6}-6x^{3}=-125$$

125 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$x^{6}-6x^{3}+125=0$$

t به جای x^{3} جایگزین شود.

$$t^{2}-6t+125=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 1 را با a، -6 را با b، و 125 را با c جایگزین کنید.

$$t=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 125}}{2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$t=\frac{6±\sqrt{-464}}{2}$$

معادله t=\frac{6±\sqrt{-464}}{2} را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$t=3+2\sqrt{29}i t=-2\sqrt{29}i+3$$

از آنجا که x=t^{3}، جواب‌های معادله با حل آن به ازای هر t بدست می‌آید.

$$x=\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+4\pi i}{3}} x=\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+2\pi i}{3}} x=\sqrt{5}e^{\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i}{3}} x=\sqrt{5}e^{-\frac{\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i}{3}} x=\sqrt{5}e^{\frac{-\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+4\pi i}{3}} x=\sqrt{5}e^{\frac{-\arctan(\frac{2\sqrt{29}}{3})i+2\pi i}{3}}$$