حل x^4-18x^2+81

$${ x }^{ 4 } -18 { x }^{ 2 } +81$$

عامل

$$\left(x-3\right)^{2}\left(x+3\right)^{2}$$

مراحل راه‌حل

برای فاکتور گرفتن این عبارت، معادله‌ای را حل کنید که در آن عبارت با 0 مساوی باشد.

$$x^{4}-18x^{2}+81=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت 81 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±81,±27,±9,±3,±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=3$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. x^{4}-18x^{2}+81 را بر x-3 برای به دست آوردن x^{3}+3x^{2}-9x-27 تقسیم کنید. برای فاکتورگیری از این نتیجه، معادله‌ای را حل کنید که در آن عبارت با 0 مساوی باشد.

$$x^{3}+3x^{2}-9x-27=0$$

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -27 و q به عامل پیشگام 1 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±27,±9,±3,±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=3$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. x^{3}+3x^{2}-9x-27 را بر x-3 برای به دست آوردن x^{2}+6x+9 تقسیم کنید. برای فاکتورگیری از این نتیجه، معادله‌ای را حل کنید که در آن عبارت با 0 مساوی باشد.

$$x^{2}+6x+9=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 1 را با a، 6 را با b، و 9 را با c جایگزین کنید.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 1\times 9}}{2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$x=\frac{-6±0}{2}$$

راهکارها مشابه هستند.

$$x=-3$$

با استفاده از ریشه‌های به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده را بازنویسی کنید.

$$\left(x-3\right)^{2}\left(x+3\right)^{2}$$

ارزیابی

$$\left(x^{2}-9\right)^{2}$$