حل x^2-x-1>0

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

برای x حل کنید

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

برای حل نامعادله، سمت چپ را فاکتور بگیرید. چند جمله‌ای درجه دوم را می‌توان با استفاده از تبدیل ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور گرفت، به طوری که x_{1} و x_{2} راه حل معادله درجه دوم ax^{2}+bx+c=0 است.

$$x^{2}-x-1=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 1 را با a، -1 را با b، و -1 را با c جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

معادله x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

با استفاده از راه‌حل‌های به‌دست‌آمده، نامعادله را بازنویسی کنید.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

برای مثبت شدن حاصل، هر دوی x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} و x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} باید منفی یا مثبت باشند. موردی را در نظر بگیرید که x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} و x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} هر دو منفی باشند.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

راه‌حل مناسب برای هر دو نامعادله x<\frac{1-\sqrt{5}}{2} است.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

موردی را در نظر بگیرید که x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} و x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} هر دو مثبت باشند.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

راه‌حل مناسب برای هر دو نامعادله x>\frac{\sqrt{5}+1}{2} است.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

راه حل نهایی اجتماع راه‌حل‌های به‌دست‌آمده است.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$