حل x^2-6x+11=0

$${ x }^{ 2 } -6x+11 = 0$$

برای x حل کنید (complex solution)

$$x=3+\sqrt{2}i\approx 3+1.414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i+3\approx 3-1.414213562i$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$x^{2}-6x+11=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1 را با a، -6 را با b و 11 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 11}}{2}$$

-6 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 11}}{2}$$

-4 بار 11.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-44}}{2}$$

36 را به -44 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

ریشه دوم -8 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

متضاد -6 عبارت است از 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 6 را به 2i\sqrt{2} اضافه کنید.

$$x=\frac{6+2\sqrt{2}i}{2}$$

6+2i\sqrt{2} را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=3+\sqrt{2}i$$

اکنون معادله x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 2i\sqrt{2} را از 6 تفریق کنید.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+6}{2}$$

6-2i\sqrt{2} را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=-\sqrt{2}i+3$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$x^{2}-6x+11=0$$

11 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x^{2}-6x+11-11=-11$$

تفریق 11 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$x^{2}-6x=-11$$

-6، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -3 شود. سپس مجذور -3 را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-11+\left(-3\right)^{2}$$

-3 را مجذور کنید.

$$x^{2}-6x+9=-11+9$$

-11 را به 9 اضافه کنید.

$$x^{2}-6x+9=-2$$

عامل x^{2}-6x+9. در کل، هنگامی که x^{2}+bx+c یک مربع است، همیشه می‌تواند به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-3\right)^{2}=-2$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

ساده کنید.

$$x-3=\sqrt{2}i x-3=-\sqrt{2}i$$

3 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$