حل x^2-3x+1<0

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

برای x حل کنید

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

برای حل نامعادله، سمت چپ را فاکتور بگیرید. چند جمله‌ای درجه دوم را می‌توان با استفاده از تبدیل ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور گرفت، به طوری که x_{1} و x_{2} راه حل معادله درجه دوم ax^{2}+bx+c=0 است.

$$x^{2}-3x+1=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 1 را با a، -3 را با b، و 1 را با c جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

معادله x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

با استفاده از راه‌حل‌های به‌دست‌آمده، نامعادله را بازنویسی کنید.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

برای منفی شدن حاصل، x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} و x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} باید دارای علامت‌های مخالف هم باشند. موردی را در نظر بگیرید که x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} مثبت و x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} منفی باشد.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

این برای هر x، غلط است.

$$x\in \emptyset$$

موردی را در نظر بگیرید که x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} مثبت و x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} منفی باشد.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

راه‌حل مناسب برای هر دو نامعادله x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right) است.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

راه حل نهایی اجتماع راه‌حل‌های به‌دست‌آمده است.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$