حل x^2-14x+65=25

$${ x }^{ 2 } -14x+65=25$$

برای x حل کنید

$$x=4$$

$$x=10$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری

25 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x^{2}-14x+65-25=0$$

تفریق 25 را از 65 برای به دست آوردن 40 تفریق کنید.

$$x^{2}-14x+40=0$$

برای حل معادله، با استفاده از فرمول x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) از x^{2}-14x+40 فاکتور بگیرید. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-14 ab=40$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 40 است فهرست کنید.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

جواب زوجی است که مجموع آن -14 است.

$$a=-10 b=-4$$

با استفاده از مقادیر به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده \left(x+a\right)\left(x+b\right) را بازنویسی کنید.

$$\left(x-10\right)\left(x-4\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-10=0 و x-4=0 را حل کنید.

$$x=10 x=4$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

25 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x^{2}-14x+65-25=0$$

تفریق 25 را از 65 برای به دست آوردن 40 تفریق کنید.

$$x^{2}-14x+40=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت x^{2}+ax+bx+40 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-14 ab=1\times 40=40$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 40 است فهرست کنید.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

جواب زوجی است که مجموع آن -14 است.

$$a=-10 b=-4$$

x^{2}-14x+40 را به‌عنوان \left(x^{2}-10x\right)+\left(-4x+40\right) بازنویسی کنید.

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(-4x+40\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از -4 فاکتور بگیرید.

$$x\left(x-10\right)-4\left(x-10\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-10 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-10\right)\left(x-4\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-10=0 و x-4=0 را حل کنید.

$$x=10 x=4$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$x^{2}-14x+65=25$$

25 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x^{2}-14x+65-25=25-25$$

تفریق 25 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$x^{2}-14x+65-25=0$$

25 را از 65 تفریق کنید.

$$x^{2}-14x+40=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1 را با a، -14 را با b و 40 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2}$$

-14 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2}$$

-4 بار 40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2}$$

196 را به -160 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2}$$

ریشه دوم 36 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2}$$

متضاد -14 عبارت است از 14.

$$x=\frac{14±6}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{14±6}{2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 14 را به 6 اضافه کنید.

$$x=\frac{20}{2}$$

20 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=10$$

اکنون معادله x=\frac{14±6}{2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 6 را از 14 تفریق کنید.

$$x=\frac{8}{2}$$

8 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=4$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=10 x=4$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$x^{2}-14x+65=25$$

65 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x^{2}-14x+65-65=25-65$$

تفریق 65 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$x^{2}-14x=25-65$$

65 را از 25 تفریق کنید.

$$x^{2}-14x=-40$$

-14، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -7 شود. سپس مجذور -7 را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-40+\left(-7\right)^{2}$$

-7 را مجذور کنید.

$$x^{2}-14x+49=-40+49$$

-40 را به 49 اضافه کنید.

$$x^{2}-14x+49=9$$

عامل x^{2}-14x+49. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-7\right)^{2}=9$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

ساده کنید.

$$x-7=3 x-7=-3$$

7 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=10 x=4$$