حل x^2+25x+100=0

$${ x }^{ 2 } +25x+100=0$$

برای x حل کنید

$$x=-20$$

$$x=-5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری

برای حل معادله، با استفاده از فرمول x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) از x^{2}+25x+100 فاکتور بگیرید. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=25 ab=100$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 100 است فهرست کنید.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

جواب زوجی است که مجموع آن 25 است.

$$a=5 b=20$$

با استفاده از مقادیر به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده \left(x+a\right)\left(x+b\right) را بازنویسی کنید.

$$\left(x+5\right)\left(x+20\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x+5=0 و x+20=0 را حل کنید.

$$x=-5 x=-20$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت x^{2}+ax+bx+100 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=25 ab=1\times 100=100$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 100 است فهرست کنید.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

جواب زوجی است که مجموع آن 25 است.

$$a=5 b=20$$

x^{2}+25x+100 را به‌عنوان \left(x^{2}+5x\right)+\left(20x+100\right) بازنویسی کنید.

$$\left(x^{2}+5x\right)+\left(20x+100\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 20 فاکتور بگیرید.

$$x\left(x+5\right)+20\left(x+5\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x+5 فاکتور بگیرید.

$$\left(x+5\right)\left(x+20\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x+5=0 و x+20=0 را حل کنید.

$$x=-5 x=-20$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$x^{2}+25x+100=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 1 را با a، 25 را با b و 100 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 100}}{2}$$

25 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 100}}{2}$$

-4 بار 100.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-400}}{2}$$

625 را به -400 اضافه کنید.

$$x=\frac{-25±\sqrt{225}}{2}$$

ریشه دوم 225 را به دست آورید.

$$x=\frac{-25±15}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-25±15}{2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -25 را به 15 اضافه کنید.

$$x=-\frac{10}{2}$$

-10 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=-5$$

اکنون معادله x=\frac{-25±15}{2} وقتی که ± منفی است حل کنید. 15 را از -25 تفریق کنید.

$$x=-\frac{40}{2}$$

-40 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x=-20$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-5 x=-20$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$x^{2}+25x+100=0$$

100 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x^{2}+25x+100-100=-100$$

تفریق 100 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$x^{2}+25x=-100$$

25، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{25}{2} شود. سپس مجذور \frac{25}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+25x+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}=-100+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}$$

\frac{25}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=-100+\frac{625}{4}$$

-100 را به \frac{625}{4} اضافه کنید.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=\frac{225}{4}$$

عامل x^{2}+25x+\frac{625}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{25}{2}=\frac{15}{2} x+\frac{25}{2}=-\frac{15}{2}$$

\frac{25}{2} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-5 x=-20$$