حل x^2+{left(sqrt{6}+sqrt{2}-xright)}^2=2

$${ x }^{ 2 } + { \left( \sqrt{ 6 } + \sqrt{ 2 } -x \right) }^{ 2 } =2$$

برای x حل کنید (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}+2i\sqrt{\sqrt{3}+1}}{2}\approx 1.931851653+1.65289165i$$

$$x=\frac{-2i\sqrt{\sqrt{3}+1}+\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\approx 1.931851653-1.65289165i$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

\sqrt{6}+\sqrt{2}-x را مجذور کنید.

$$x^{2}+x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+2\sqrt{2}\sqrt{6}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\sqrt{6}\right)^{2}=2$$

6=2\times 3 را فاکتور بگیرید. حاصلضرب جذر \sqrt{2\times 3} را به‌صورت حاصلضرب ریشه‌های دوم \sqrt{2}\sqrt{3} بازنویسی کنید.

$$x^{2}+x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+2\sqrt{2}\sqrt{2}\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\sqrt{6}\right)^{2}=2$$

\sqrt{2} و \sqrt{2} را برای دستیابی به 2 ضرب کنید.

$$x^{2}+x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+2\times 2\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\sqrt{6}\right)^{2}=2$$

2 و 2 را برای دستیابی به 4 ضرب کنید.

$$x^{2}+x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\sqrt{6}\right)^{2}=2$$

مجذور \sqrt{2} عبارت است از 2.

$$x^{2}+x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+4\sqrt{3}+2+\left(\sqrt{6}\right)^{2}=2$$

مجذور \sqrt{6} عبارت است از 6.

$$x^{2}+x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+4\sqrt{3}+2+6=2$$

2 و 6 را برای دریافت 8 اضافه کنید.

$$x^{2}+x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+4\sqrt{3}+8=2$$

x^{2} و x^{2} را برای به دست آوردن 2x^{2} ترکیب کنید.

$$2x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+4\sqrt{3}+8=2$$

2 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+4\sqrt{3}+8-2=0$$

تفریق 2 را از 8 برای به دست آوردن 6 تفریق کنید.

$$2x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+4\sqrt{3}+6=0$$

همه جمله‌های شامل x را ترکیب کنید.

$$2x^{2}+\left(-2\sqrt{2}-2\sqrt{6}\right)x+4\sqrt{3}+6=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، -2\sqrt{2}-2\sqrt{6} را با b و 4\sqrt{3}+6 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{2}-2\sqrt{6}\right)±\sqrt{\left(-2\sqrt{2}-2\sqrt{6}\right)^{2}-4\times 2\left(4\sqrt{3}+6\right)}}{2\times 2}$$

-2\sqrt{2}-2\sqrt{6} را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{2}-2\sqrt{6}\right)±\sqrt{16\sqrt{3}+32-4\times 2\left(4\sqrt{3}+6\right)}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{2}-2\sqrt{6}\right)±\sqrt{16\sqrt{3}+32-8\left(4\sqrt{3}+6\right)}}{2\times 2}$$

-8 بار 4\sqrt{3}+6.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{2}-2\sqrt{6}\right)±\sqrt{16\sqrt{3}+32-32\sqrt{3}-48}}{2\times 2}$$

32+16\sqrt{3} را به -32\sqrt{3}-48 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{2}-2\sqrt{6}\right)±\sqrt{-16\sqrt{3}-16}}{2\times 2}$$

ریشه دوم -16-16\sqrt{3} را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-2\sqrt{2}-2\sqrt{6}\right)±4i\sqrt{\sqrt{3}+1}}{2\times 2}$$

متضاد -2\sqrt{2}-2\sqrt{6} عبارت است از 2\sqrt{2}+2\sqrt{6}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2\sqrt{6}±4i\sqrt{\sqrt{3}+1}}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2\sqrt{6}±4i\sqrt{\sqrt{3}+1}}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{2\sqrt{2}+2\sqrt{6}±4i\sqrt{\sqrt{3}+1}}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 2\sqrt{2}+2\sqrt{6} را به 4i\sqrt{1+\sqrt{3}} اضافه کنید.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+2\sqrt{6}+4i\sqrt{\sqrt{3}+1}}{4}$$

2\sqrt{2}+2\sqrt{6}+4i\sqrt{1+\sqrt{3}} را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}+i\sqrt{\sqrt{3}+1}$$

اکنون معادله x=\frac{2\sqrt{2}+2\sqrt{6}±4i\sqrt{\sqrt{3}+1}}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 4i\sqrt{1+\sqrt{3}} را از 2\sqrt{2}+2\sqrt{6} تفریق کنید.

$$x=\frac{-4i\sqrt{\sqrt{3}+1}+2\sqrt{2}+2\sqrt{6}}{4}$$

2\sqrt{2}+2\sqrt{6}-4i\sqrt{1+\sqrt{3}} را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=-i\sqrt{\sqrt{3}+1}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}+i\sqrt{\sqrt{3}+1} x=-i\sqrt{\sqrt{3}+1}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

\sqrt{6}+\sqrt{2}-x را مجذور کنید.

$$x^{2}+x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+2\sqrt{2}\sqrt{6}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\sqrt{6}\right)^{2}=2$$

6=2\times 3 را فاکتور بگیرید. حاصلضرب جذر \sqrt{2\times 3} را به‌صورت حاصلضرب ریشه‌های دوم \sqrt{2}\sqrt{3} بازنویسی کنید.

$$x^{2}+x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+2\sqrt{2}\sqrt{2}\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\sqrt{6}\right)^{2}=2$$

\sqrt{2} و \sqrt{2} را برای دستیابی به 2 ضرب کنید.

$$x^{2}+x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+2\times 2\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\sqrt{6}\right)^{2}=2$$

2 و 2 را برای دستیابی به 4 ضرب کنید.

$$x^{2}+x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\sqrt{6}\right)^{2}=2$$

مجذور \sqrt{2} عبارت است از 2.

$$x^{2}+x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+4\sqrt{3}+2+\left(\sqrt{6}\right)^{2}=2$$

مجذور \sqrt{6} عبارت است از 6.

$$x^{2}+x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+4\sqrt{3}+2+6=2$$

2 و 6 را برای دریافت 8 اضافه کنید.

$$x^{2}+x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+4\sqrt{3}+8=2$$

x^{2} و x^{2} را برای به دست آوردن 2x^{2} ترکیب کنید.

$$2x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+4\sqrt{3}+8=2$$

4\sqrt{3} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x+8=2-4\sqrt{3}$$

8 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x=2-4\sqrt{3}-8$$

تفریق 8 را از 2 برای به دست آوردن -6 تفریق کنید.

$$2x^{2}-2\sqrt{2}x-2\sqrt{6}x=-6-4\sqrt{3}$$

همه جمله‌های شامل x را ترکیب کنید.

$$2x^{2}+\left(-2\sqrt{2}-2\sqrt{6}\right)x=-6-4\sqrt{3}$$

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$2x^{2}+\left(-2\sqrt{2}-2\sqrt{6}\right)x=-4\sqrt{3}-6$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2x^{2}+\left(-2\sqrt{2}-2\sqrt{6}\right)x}{2}=\frac{-4\sqrt{3}-6}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{-2\sqrt{2}-2\sqrt{6}}{2}x=\frac{-4\sqrt{3}-6}{2}$$

-2\sqrt{2}-2\sqrt{6} را بر 2 تقسیم کنید.

$$x^{2}+\left(-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)x=\frac{-4\sqrt{3}-6}{2}$$

-6-4\sqrt{3} را بر 2 تقسیم کنید.

$$x^{2}+\left(-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)x=-2\sqrt{3}-3$$

-\sqrt{2}-\sqrt{6}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2} شود. سپس مجذور \frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\left(-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)x+\left(\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\right)^{2}=-2\sqrt{3}-3+\left(\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\right)^{2}$$

\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2} را مجذور کنید.

$$x^{2}+\left(-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)x+\sqrt{3}+2=-2\sqrt{3}-3+\sqrt{3}+2$$

-3-2\sqrt{3} را به 2+\sqrt{3} اضافه کنید.

$$x^{2}+\left(-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)x+\sqrt{3}+2=-\sqrt{3}-1$$

عامل x^{2}+\left(-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)x+\sqrt{3}+2. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\right)^{2}=-\sqrt{3}-1$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\sqrt{3}-1}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}=i\sqrt{\sqrt{3}+1} x+\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}=-i\sqrt{\sqrt{3}+1}$$

\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}+i\sqrt{\sqrt{3}+1} x=-i\sqrt{\sqrt{3}+1}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}$$