حل left(x+3right)^2+x^2=317

$${ \left(x+3 \right) }^{ 2 } + { x }^{ 2 } =317$$

برای x حل کنید

$$x=-14$$

$$x=11$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(x+3\right)^{2} استفاده کنید.

$$x^{2}+6x+9+x^{2}=317$$

x^{2} و x^{2} را برای به دست آوردن 2x^{2} ترکیب کنید.

$$2x^{2}+6x+9=317$$

317 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x^{2}+6x+9-317=0$$

تفریق 317 را از 9 برای به دست آوردن -308 تفریق کنید.

$$2x^{2}+6x-308=0$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$x^{2}+3x-154=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت x^{2}+ax+bx-154 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=3 ab=1\left(-154\right)=-154$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -154 است فهرست کنید.

$$-1,154 -2,77 -7,22 -11,14$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+154=153 -2+77=75 -7+22=15 -11+14=3$$

جواب زوجی است که مجموع آن 3 است.

$$a=-11 b=14$$

x^{2}+3x-154 را به‌عنوان \left(x^{2}-11x\right)+\left(14x-154\right) بازنویسی کنید.

$$\left(x^{2}-11x\right)+\left(14x-154\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 14 فاکتور بگیرید.

$$x\left(x-11\right)+14\left(x-11\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-11 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-11\right)\left(x+14\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-11=0 و x+14=0 را حل کنید.

$$x=11 x=-14$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(x+3\right)^{2} استفاده کنید.

$$x^{2}+6x+9+x^{2}=317$$

x^{2} و x^{2} را برای به دست آوردن 2x^{2} ترکیب کنید.

$$2x^{2}+6x+9=317$$

317 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x^{2}+6x+9-317=0$$

تفریق 317 را از 9 برای به دست آوردن -308 تفریق کنید.

$$2x^{2}+6x-308=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 2 را با a، 6 را با b و -308 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 2\left(-308\right)}}{2\times 2}$$

6 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 2\left(-308\right)}}{2\times 2}$$

-4 بار 2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-8\left(-308\right)}}{2\times 2}$$

-8 بار -308.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+2464}}{2\times 2}$$

36 را به 2464 اضافه کنید.

$$x=\frac{-6±\sqrt{2500}}{2\times 2}$$

ریشه دوم 2500 را به دست آورید.

$$x=\frac{-6±50}{2\times 2}$$

2 بار 2.

$$x=\frac{-6±50}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{-6±50}{4} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -6 را به 50 اضافه کنید.

$$x=\frac{44}{4}$$

44 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=11$$

اکنون معادله x=\frac{-6±50}{4} وقتی که ± منفی است حل کنید. 50 را از -6 تفریق کنید.

$$x=-\frac{56}{4}$$

-56 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x=-14$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=11 x=-14$$

مراحل برای تکمیل مربع

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(x+3\right)^{2} استفاده کنید.

$$x^{2}+6x+9+x^{2}=317$$

x^{2} و x^{2} را برای به دست آوردن 2x^{2} ترکیب کنید.

$$2x^{2}+6x+9=317$$

9 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$2x^{2}+6x=317-9$$

تفریق 9 را از 317 برای به دست آوردن 308 تفریق کنید.

$$2x^{2}+6x=308$$

هر دو طرف بر 2 تقسیم شوند.

$$\frac{2x^{2}+6x}{2}=\frac{308}{2}$$

تقسیم بر 2، ضرب در 2 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{6}{2}x=\frac{308}{2}$$

6 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x^{2}+3x=\frac{308}{2}$$

308 را بر 2 تقسیم کنید.

$$x^{2}+3x=154$$

3، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{3}{2} شود. سپس مجذور \frac{3}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=154+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

\frac{3}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=154+\frac{9}{4}$$

154 را به \frac{9}{4} اضافه کنید.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{625}{4}$$

عامل x^{2}+3x+\frac{9}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{625}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{4}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{25}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{25}{2}$$

\frac{3}{2} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=11 x=-14$$