حل sqrt{x}=x-1

$$\sqrt{ x } =x-1$$

برای x حل کنید

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2.618033989$$

مراحل راه‌حل

هر دو طرف معادله را مربع کنید.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

\sqrt{x} را به توان 2 محاسبه کنید و x را به دست آورید.

$$x=\left(x-1\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(x-1\right)^{2} استفاده کنید.

$$x=x^{2}-2x+1$$

x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x-x^{2}=-2x+1$$

2x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$x-x^{2}+2x=1$$

x و 2x را برای به دست آوردن 3x ترکیب کنید.

$$3x-x^{2}=1$$

1 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$3x-x^{2}-1=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$-x^{2}+3x-1=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. -1 را با a، 3 را با b و -1 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

3 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 بار -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4 بار -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4}}{2\left(-1\right)}$$

9 را به -4 اضافه کنید.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

2 بار -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}$$

اکنون معادله x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -3 را به \sqrt{5} اضافه کنید.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{-2}$$

-3+\sqrt{5} را بر -2 تقسیم کنید.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2} وقتی که ± منفی است حل کنید. \sqrt{5} را از -3 تفریق کنید.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{-2}$$

-3-\sqrt{5} را بر -2 تقسیم کنید.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

\frac{3-\sqrt{5}}{2} به جای x در معادله \sqrt{x}=x-1 جایگزین شود.

$$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}-1$$

ساده کنید. مقدار x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} معادله را برآورده نمی کند زیرا سمت چپ و راست علامت‌های مخالف دارند.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

\frac{\sqrt{5}+3}{2} به جای x در معادله \sqrt{x}=x-1 جایگزین شود.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\frac{\sqrt{5}+3}{2}-1$$

ساده کنید. مقدار x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} معادله را برآورده می کند.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

معادله \sqrt{x}=x-1 یک راه حل منحصر به فرد دارد.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$