حل sqrt{2x-3}=2+sqrt{x-5}

$$\sqrt{ 2x-3 } = 2+ \sqrt{ x-5 }$$

برای x حل کنید

$$x=14$$

$$x=6$$

مراحل راه‌حل

هر دو طرف معادله را مربع کنید.

$$\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

\sqrt{2x-3} را به توان 2 محاسبه کنید و 2x-3 را به دست آورید.

$$2x-3=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2} استفاده کنید.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

\sqrt{x-5} را به توان 2 محاسبه کنید و x-5 را به دست آورید.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+x-5$$

تفریق 5 را از 4 برای به دست آوردن -1 تفریق کنید.

$$2x-3=-1+4\sqrt{x-5}+x$$

-1+x را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$2x-3-\left(-1+x\right)=4\sqrt{x-5}$$

برای پیدا کردن متضاد -1+x، متضاد هر اصطلاح پیدا شود.

$$2x-3+1-x=4\sqrt{x-5}$$

-3 و 1 را برای دریافت -2 اضافه کنید.

$$2x-2-x=4\sqrt{x-5}$$

2x و -x را برای به دست آوردن x ترکیب کنید.

$$x-2=4\sqrt{x-5}$$

هر دو طرف معادله را مربع کنید.

$$\left(x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(x-2\right)^{2} استفاده کنید.

$$x^{2}-4x+4=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2} را بسط دهید.

$$x^{2}-4x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

4 را به توان 2 محاسبه کنید و 16 را به دست آورید.

$$x^{2}-4x+4=16\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

\sqrt{x-5} را به توان 2 محاسبه کنید و x-5 را به دست آورید.

$$x^{2}-4x+4=16\left(x-5\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 16 در x-5 استفاده کنید.

$$x^{2}-4x+4=16x-80$$

16x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x^{2}-4x+4-16x=-80$$

-4x و -16x را برای به دست آوردن -20x ترکیب کنید.

$$x^{2}-20x+4=-80$$

80 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$x^{2}-20x+4+80=0$$

4 و 80 را برای دریافت 84 اضافه کنید.

$$x^{2}-20x+84=0$$

برای حل معادله، با استفاده از فرمول x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) از x^{2}-20x+84 فاکتور بگیرید. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-20 ab=84$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 84 است فهرست کنید.

$$-1,-84 -2,-42 -3,-28 -4,-21 -6,-14 -7,-12$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-84=-85 -2-42=-44 -3-28=-31 -4-21=-25 -6-14=-20 -7-12=-19$$

جواب زوجی است که مجموع آن -20 است.

$$a=-14 b=-6$$

با استفاده از مقادیر به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده \left(x+a\right)\left(x+b\right) را بازنویسی کنید.

$$\left(x-14\right)\left(x-6\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-14=0 و x-6=0 را حل کنید.

$$x=14 x=6$$

14 به جای x در معادله \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5} جایگزین شود.

$$\sqrt{2\times 14-3}=2+\sqrt{14-5}$$

ساده کنید. مقدار x=14 معادله را برآورده می کند.

$$5=5$$

6 به جای x در معادله \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5} جایگزین شود.

$$\sqrt{2\times 6-3}=2+\sqrt{6-5}$$

ساده کنید. مقدار x=6 معادله را برآورده می کند.

$$3=3$$

تمام راه حل‌های \sqrt{2x-3}=\sqrt{x-5}+2 را لیست کنید.

$$x=14 x=6$$