حل sqrt{x^2+x}=2x-1

$$\sqrt{ { x }^{ 2 } +x } =2x-1$$

برای x حل کنید

$$x = \frac{\sqrt{13} + 5}{6} \approx 1.434258546$$

مراحل راه‌حل

هر دو طرف معادله را مربع کنید.

$$\left(\sqrt{x^{2}+x}\right)^{2}=\left(2x-1\right)^{2}$$

\sqrt{x^{2}+x} را به توان 2 محاسبه کنید و x^{2}+x را به دست آورید.

$$x^{2}+x=\left(2x-1\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(2x-1\right)^{2} استفاده کنید.

$$x^{2}+x=4x^{2}-4x+1$$

4x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x^{2}+x-4x^{2}=-4x+1$$

x^{2} و -4x^{2} را برای به دست آوردن -3x^{2} ترکیب کنید.

$$-3x^{2}+x=-4x+1$$

4x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$-3x^{2}+x+4x=1$$

x و 4x را برای به دست آوردن 5x ترکیب کنید.

$$-3x^{2}+5x=1$$

1 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-3x^{2}+5x-1=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. -3 را با a، 5 را با b و -1 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

5 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

-4 بار -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+12\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

12 بار -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12}}{2\left(-3\right)}$$

25 را به -12 اضافه کنید.

$$x=\frac{-5±\sqrt{13}}{2\left(-3\right)}$$

2 بار -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{13}}{-6}$$

اکنون معادله x=\frac{-5±\sqrt{13}}{-6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -5 را به \sqrt{13} اضافه کنید.

$$x=\frac{\sqrt{13}-5}{-6}$$

-5+\sqrt{13} را بر -6 تقسیم کنید.

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{6}$$

اکنون معادله x=\frac{-5±\sqrt{13}}{-6} وقتی که ± منفی است حل کنید. \sqrt{13} را از -5 تفریق کنید.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-5}{-6}$$

-5-\sqrt{13} را بر -6 تقسیم کنید.

$$x=\frac{\sqrt{13}+5}{6}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{5-\sqrt{13}}{6} x=\frac{\sqrt{13}+5}{6}$$

\frac{5-\sqrt{13}}{6} به جای x در معادله \sqrt{x^{2}+x}=2x-1 جایگزین شود.

$$\sqrt{\left(\frac{5-\sqrt{13}}{6}\right)^{2}+\frac{5-\sqrt{13}}{6}}=2\times \frac{5-\sqrt{13}}{6}-1$$

ساده کنید. مقدار x=\frac{5-\sqrt{13}}{6} معادله را برآورده نمی کند زیرا سمت چپ و راست علامت‌های مخالف دارند.

$$\frac{1}{3}\times 13^{\frac{1}{2}}-\frac{2}{3}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\times 13^{\frac{1}{2}}$$

\frac{\sqrt{13}+5}{6} به جای x در معادله \sqrt{x^{2}+x}=2x-1 جایگزین شود.

$$\sqrt{\left(\frac{\sqrt{13}+5}{6}\right)^{2}+\frac{\sqrt{13}+5}{6}}=2\times \frac{\sqrt{13}+5}{6}-1$$

ساده کنید. مقدار x=\frac{\sqrt{13}+5}{6} معادله را برآورده می کند.

$$\frac{1}{3}\times 13^{\frac{1}{2}}+\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\times 13^{\frac{1}{2}}+\frac{2}{3}$$

معادله \sqrt{x^{2}+x}=2x-1 یک راه حل منحصر به فرد دارد.

$$x=\frac{\sqrt{13}+5}{6}$$