حل sqrt{x-3}+sqrt{2x-2}=2

$$\sqrt { x - 3 } + \sqrt { 2 x - 2 } = 2$$

برای x حل کنید

$$x=3$$

مراحل راه‌حل

\sqrt{2x-2} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\sqrt{x-3}=2-\sqrt{2x-2}$$

هر دو طرف معادله را مربع کنید.

$$\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

\sqrt{x-3} را به توان 2 محاسبه کنید و x-3 را به دست آورید.

$$x-3=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2} استفاده کنید.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

\sqrt{2x-2} را به توان 2 محاسبه کنید و 2x-2 را به دست آورید.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+2x-2$$

تفریق 2 را از 4 برای به دست آوردن 2 تفریق کنید.

$$x-3=2-4\sqrt{2x-2}+2x$$

2+2x را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x-3-\left(2+2x\right)=-4\sqrt{2x-2}$$

برای پیدا کردن متضاد 2+2x، متضاد هر اصطلاح پیدا شود.

$$x-3-2-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

تفریق 2 را از -3 برای به دست آوردن -5 تفریق کنید.

$$x-5-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

x و -2x را برای به دست آوردن -x ترکیب کنید.

$$-x-5=-4\sqrt{2x-2}$$

هر دو طرف معادله را مربع کنید.

$$\left(-x-5\right)^{2}=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(-x-5\right)^{2} استفاده کنید.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2} را بسط دهید.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

-4 را به توان 2 محاسبه کنید و 16 را به دست آورید.

$$x^{2}+10x+25=16\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

\sqrt{2x-2} را به توان 2 محاسبه کنید و 2x-2 را به دست آورید.

$$x^{2}+10x+25=16\left(2x-2\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 16 در 2x-2 استفاده کنید.

$$x^{2}+10x+25=32x-32$$

32x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x^{2}+10x+25-32x=-32$$

10x و -32x را برای به دست آوردن -22x ترکیب کنید.

$$x^{2}-22x+25=-32$$

32 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$x^{2}-22x+25+32=0$$

25 و 32 را برای دریافت 57 اضافه کنید.

$$x^{2}-22x+57=0$$

برای حل معادله، با استفاده از فرمول x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) از x^{2}-22x+57 فاکتور بگیرید. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-22 ab=57$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 57 است فهرست کنید.

$$-1,-57 -3,-19$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-57=-58 -3-19=-22$$

جواب زوجی است که مجموع آن -22 است.

$$a=-19 b=-3$$

با استفاده از مقادیر به دست آمده، عبارت فاکتورگیری‌شده \left(x+a\right)\left(x+b\right) را بازنویسی کنید.

$$\left(x-19\right)\left(x-3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-19=0 و x-3=0 را حل کنید.

$$x=19 x=3$$

19 به جای x در معادله \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2 جایگزین شود.

$$\sqrt{19-3}+\sqrt{2\times 19-2}=2$$

ساده کنید. مقدار x=19 معادله را برآورده نمی کند.

$$10=2$$

3 به جای x در معادله \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2 جایگزین شود.

$$\sqrt{3-3}+\sqrt{2\times 3-2}=2$$

ساده کنید. مقدار x=3 معادله را برآورده می کند.

$$2=2$$

معادله \sqrt{x-3}=-\sqrt{2x-2}+2 یک راه حل منحصر به فرد دارد.

$$x=3$$