حل sqrt{x^2+2x+9}-7=2x

$$\sqrt { x ^ { 2 } + 2 x + 9 } - 7 = 2 x$$

برای x حل کنید

$$x=-2$$

مراحل راه‌حل

-7 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\sqrt{x^{2}+2x+9}=2x+7$$

هر دو طرف معادله را مربع کنید.

$$\left(\sqrt{x^{2}+2x+9}\right)^{2}=\left(2x+7\right)^{2}$$

\sqrt{x^{2}+2x+9} را به توان 2 محاسبه کنید و x^{2}+2x+9 را به دست آورید.

$$x^{2}+2x+9=\left(2x+7\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(2x+7\right)^{2} استفاده کنید.

$$x^{2}+2x+9=4x^{2}+28x+49$$

4x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x^{2}+2x+9-4x^{2}=28x+49$$

x^{2} و -4x^{2} را برای به دست آوردن -3x^{2} ترکیب کنید.

$$-3x^{2}+2x+9=28x+49$$

28x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-3x^{2}+2x+9-28x=49$$

2x و -28x را برای به دست آوردن -26x ترکیب کنید.

$$-3x^{2}-26x+9=49$$

49 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-3x^{2}-26x+9-49=0$$

تفریق 49 را از 9 برای به دست آوردن -40 تفریق کنید.

$$-3x^{2}-26x-40=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت -3x^{2}+ax+bx-40 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-26 ab=-3\left(-40\right)=120$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 120 است فهرست کنید.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

جواب زوجی است که مجموع آن -26 است.

$$a=-6 b=-20$$

-3x^{2}-26x-40 را به‌عنوان \left(-3x^{2}-6x\right)+\left(-20x-40\right) بازنویسی کنید.

$$\left(-3x^{2}-6x\right)+\left(-20x-40\right)$$

در گروه اول از 3x و در گروه دوم از 20 فاکتور بگیرید.

$$3x\left(-x-2\right)+20\left(-x-2\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک -x-2 فاکتور بگیرید.

$$\left(-x-2\right)\left(3x+20\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، -x-2=0 و 3x+20=0 را حل کنید.

$$x=-2 x=-\frac{20}{3}$$

-2 به جای x در معادله \sqrt{x^{2}+2x+9}-7=2x جایگزین شود.

$$\sqrt{\left(-2\right)^{2}+2\left(-2\right)+9}-7=2\left(-2\right)$$

ساده کنید. مقدار x=-2 معادله را برآورده می کند.

$$-4=-4$$

-\frac{20}{3} به جای x در معادله \sqrt{x^{2}+2x+9}-7=2x جایگزین شود.

$$\sqrt{\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}+2\left(-\frac{20}{3}\right)+9}-7=2\left(-\frac{20}{3}\right)$$

ساده کنید. مقدار x=-\frac{20}{3} معادله را برآورده نمی کند.

$$-\frac{2}{3}=-\frac{40}{3}$$

معادله \sqrt{x^{2}+2x+9}=2x+7 یک راه حل منحصر به فرد دارد.

$$x=-2$$