حل sqrt{x+3}+sqrt{x+6}=sqrt{x+11}

$$\sqrt { x + 3 } + \sqrt { x + 6 } = \sqrt { x + 11 }$$

برای x حل کنید

$$x=-2$$

مراحل راه‌حل

هر دو طرف معادله را مربع کنید.

$$\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2} استفاده کنید.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

\sqrt{x+3} را به توان 2 محاسبه کنید و x+3 را به دست آورید.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

\sqrt{x+6} را به توان 2 محاسبه کنید و x+6 را به دست آورید.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+x+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

x و x را برای به دست آوردن 2x ترکیب کنید.

$$2x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

3 و 6 را برای دریافت 9 اضافه کنید.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

\sqrt{x+11} را به توان 2 محاسبه کنید و x+11 را به دست آورید.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11$$

2x+9 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-\left(2x+9\right)$$

برای پیدا کردن متضاد 2x+9، متضاد هر اصطلاح پیدا شود.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-2x-9$$

x و -2x را برای به دست آوردن -x ترکیب کنید.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+11-9$$

تفریق 9 را از 11 برای به دست آوردن 2 تفریق کنید.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+2$$

هر دو طرف معادله را مربع کنید.

$$\left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

\left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2} را بسط دهید.

$$2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

2 را به توان 2 محاسبه کنید و 4 را به دست آورید.

$$4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

\sqrt{x+3} را به توان 2 محاسبه کنید و x+3 را به دست آورید.

$$4\left(x+3\right)\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

\sqrt{x+6} را به توان 2 محاسبه کنید و x+6 را به دست آورید.

$$4\left(x+3\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

از اموال توزیعی برای ضرب 4 در x+3 استفاده کنید.

$$\left(4x+12\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

ویژگی توزیعی را از طریق ضرب کردن هر گزاره از 4x+12 در هر گزاره از x+6 اعمال کنید.

$$4x^{2}+24x+12x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

24x و 12x را برای به دست آوردن 36x ترکیب کنید.

$$4x^{2}+36x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(-x+2\right)^{2} استفاده کنید.

$$4x^{2}+36x+72=x^{2}-4x+4$$

x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$4x^{2}+36x+72-x^{2}=-4x+4$$

4x^{2} و -x^{2} را برای به دست آوردن 3x^{2} ترکیب کنید.

$$3x^{2}+36x+72=-4x+4$$

4x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$3x^{2}+36x+72+4x=4$$

36x و 4x را برای به دست آوردن 40x ترکیب کنید.

$$3x^{2}+40x+72=4$$

4 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$3x^{2}+40x+72-4=0$$

تفریق 4 را از 72 برای به دست آوردن 68 تفریق کنید.

$$3x^{2}+40x+68=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3x^{2}+ax+bx+68 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=40 ab=3\times 68=204$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 204 است فهرست کنید.

$$1,204 2,102 3,68 4,51 6,34 12,17$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+204=205 2+102=104 3+68=71 4+51=55 6+34=40 12+17=29$$

جواب زوجی است که مجموع آن 40 است.

$$a=6 b=34$$

3x^{2}+40x+68 را به‌عنوان \left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right)$$

در گروه اول از 3x و در گروه دوم از 34 فاکتور بگیرید.

$$3x\left(x+2\right)+34\left(x+2\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x+2 فاکتور بگیرید.

$$\left(x+2\right)\left(3x+34\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x+2=0 و 3x+34=0 را حل کنید.

$$x=-2 x=-\frac{34}{3}$$

-\frac{34}{3} به جای x در معادله \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11} جایگزین شود. عبارت لا\sqrt{-\frac{34}{3}+3} تعریف نشده است زیرا ریشه نمی تواند منفی باشد.

$$\sqrt{-\frac{34}{3}+3}+\sqrt{-\frac{34}{3}+6}=\sqrt{-\frac{34}{3}+11}$$

-2 به جای x در معادله \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11} جایگزین شود.

$$\sqrt{-2+3}+\sqrt{-2+6}=\sqrt{-2+11}$$

ساده کنید. مقدار x=-2 معادله را برآورده می کند.

$$3=3$$

معادله \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11} یک راه حل منحصر به فرد دارد.

$$x=-2$$