حل sqrt{x+2}=x+1

$$\sqrt { x + 2 } = x + 1$$

برای x حل کنید

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618033989$$

مراحل راه‌حل

هر دو طرف معادله را مربع کنید.

$$\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(x+1\right)^{2}$$

\sqrt{x+2} را به توان 2 محاسبه کنید و x+2 را به دست آورید.

$$x+2=\left(x+1\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(x+1\right)^{2} استفاده کنید.

$$x+2=x^{2}+2x+1$$

x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x+2-x^{2}=2x+1$$

2x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$x+2-x^{2}-2x=1$$

x و -2x را برای به دست آوردن -x ترکیب کنید.

$$-x+2-x^{2}=1$$

1 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-x+2-x^{2}-1=0$$

تفریق 1 را از 2 برای به دست آوردن 1 تفریق کنید.

$$-x+1-x^{2}=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$-x^{2}-x+1=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. -1 را با a، -1 را با b و 1 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 بار -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

1 را به 4 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

متضاد -1 عبارت است از 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

2 بار -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{-2}$$

اکنون معادله x=\frac{1±\sqrt{5}}{-2} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 1 را به \sqrt{5} اضافه کنید.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{-2}$$

1+\sqrt{5} را بر -2 تقسیم کنید.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{1±\sqrt{5}}{-2} وقتی که ± منفی است حل کنید. \sqrt{5} را از 1 تفریق کنید.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{-2}$$

1-\sqrt{5} را بر -2 تقسیم کنید.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

\frac{-\sqrt{5}-1}{2} به جای x در معادله \sqrt{x+2}=x+1 جایگزین شود.

$$\sqrt{\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+2}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+1$$

ساده کنید. مقدار x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} معادله را برآورده نمی کند زیرا سمت چپ و راست علامت‌های مخالف دارند.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

\frac{\sqrt{5}-1}{2} به جای x در معادله \sqrt{x+2}=x+1 جایگزین شود.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}+2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}+1$$

ساده کنید. مقدار x=\frac{\sqrt{5}-1}{2} معادله را برآورده می کند.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

معادله \sqrt{x+2}=x+1 یک راه حل منحصر به فرد دارد.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$