حل sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

برای x حل کنید

$$x=2$$

مراحل راه‌حل

هر دو طرف معادله را مربع کنید.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2} استفاده کنید.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

\sqrt{5x-1} را به توان 2 محاسبه کنید و 5x-1 را به دست آورید.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

\sqrt{3x-2} را به توان 2 محاسبه کنید و 3x-2 را به دست آورید.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

5x و 3x را برای به دست آوردن 8x ترکیب کنید.

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

تفریق 2 را از -1 برای به دست آوردن -3 تفریق کنید.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

\sqrt{x-1} را به توان 2 محاسبه کنید و x-1 را به دست آورید.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

8x-3 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

برای پیدا کردن متضاد 8x-3، متضاد هر اصطلاح پیدا شود.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

x و -8x را برای به دست آوردن -7x ترکیب کنید.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

-1 و 3 را برای دریافت 2 اضافه کنید.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

هر دو طرف معادله را مربع کنید.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2} را بسط دهید.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

-2 را به توان 2 محاسبه کنید و 4 را به دست آورید.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

\sqrt{5x-1} را به توان 2 محاسبه کنید و 5x-1 را به دست آورید.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

\sqrt{3x-2} را به توان 2 محاسبه کنید و 3x-2 را به دست آورید.

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

از اموال توزیعی برای ضرب 4 در 5x-1 استفاده کنید.

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

ویژگی توزیعی را از طریق ضرب کردن هر گزاره از 20x-4 در هر گزاره از 3x-2 اعمال کنید.

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

-40x و -12x را برای به دست آوردن -52x ترکیب کنید.

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(-7x+2\right)^{2} استفاده کنید.

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

49x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

60x^{2} و -49x^{2} را برای به دست آوردن 11x^{2} ترکیب کنید.

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

28x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

-52x و 28x را برای به دست آوردن -24x ترکیب کنید.

$$11x^{2}-24x+8=4$$

4 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

تفریق 4 را از 8 برای به دست آوردن 4 تفریق کنید.

$$11x^{2}-24x+4=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 11x^{2}+ax+bx+4 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 44 است فهرست کنید.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

جواب زوجی است که مجموع آن -24 است.

$$a=-22 b=-2$$

11x^{2}-24x+4 را به‌عنوان \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right) بازنویسی کنید.

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

در گروه اول از 11x و در گروه دوم از -2 فاکتور بگیرید.

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-2 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-2=0 و 11x-2=0 را حل کنید.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

\frac{2}{11} به جای x در معادله \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} جایگزین شود. عبارت لا\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} تعریف نشده است زیرا ریشه نمی تواند منفی باشد.

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

2 به جای x در معادله \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} جایگزین شود.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

ساده کنید. مقدار x=2 معادله را برآورده می کند.

$$1=1$$

معادله \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} یک راه حل منحصر به فرد دارد.

$$x=2$$