حل sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

برای x حل کنید (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3.31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3.31662479i$$

مراحل راه‌حل

-\sqrt{15+x^{2}} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

هر دو طرف معادله را مربع کنید.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

\sqrt{25-x^{2}} را به توان 2 محاسبه کنید و 25-x^{2} را به دست آورید.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2} استفاده کنید.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

\sqrt{15+x^{2}} را به توان 2 محاسبه کنید و 15+x^{2} را به دست آورید.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

16 و 15 را برای دریافت 31 اضافه کنید.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

31+x^{2} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

برای پیدا کردن متضاد 31+x^{2}، متضاد هر اصطلاح پیدا شود.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

تفریق 31 را از 25 برای به دست آوردن -6 تفریق کنید.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

-x^{2} و -x^{2} را برای به دست آوردن -2x^{2} ترکیب کنید.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

هر دو طرف معادله را مربع کنید.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(-6-2x^{2}\right)^{2} استفاده کنید.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

برای رساندن توان به یک توان دیگر، توان‌ها را ضرب کنید. 2 و 2 را برای رسیدن به 4 ضرب کنید.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2} را بسط دهید.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

8 را به توان 2 محاسبه کنید و 64 را به دست آورید.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

\sqrt{15+x^{2}} را به توان 2 محاسبه کنید و 15+x^{2} را به دست آورید.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 64 در 15+x^{2} استفاده کنید.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

960 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

تفریق 960 را از 36 برای به دست آوردن -924 تفریق کنید.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

64x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

24x^{2} و -64x^{2} را برای به دست آوردن -40x^{2} ترکیب کنید.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

t به جای x^{2} جایگزین شود.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 4 را با a، -40 را با b، و -924 را با c جایگزین کنید.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

معادله t=\frac{40±128}{8} را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$t=21 t=-11$$

از آنجا که x=t^{2}، راه‌حل‌ها با ارزیابی x=±\sqrt{t} برای هر t به دست می‌آید.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

-\sqrt{21} به جای x در معادله \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 جایگزین شود.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

ساده کنید. مقدار x=-\sqrt{21} معادله را برآورده نمی کند زیرا سمت چپ و راست علامت‌های مخالف دارند.

$$-4=4$$

\sqrt{21} به جای x در معادله \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 جایگزین شود.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

ساده کنید. مقدار x=\sqrt{21} معادله را برآورده نمی کند زیرا سمت چپ و راست علامت‌های مخالف دارند.

$$-4=4$$

-\sqrt{11}i به جای x در معادله \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 جایگزین شود.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

ساده کنید. مقدار x=-\sqrt{11}i معادله را برآورده می کند.

$$4=4$$

\sqrt{11}i به جای x در معادله \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4 جایگزین شود.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

ساده کنید. مقدار x=\sqrt{11}i معادله را برآورده می کند.

$$4=4$$

تمام راه حل‌های \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4 را لیست کنید.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$