حل sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

برای x حل کنید

$$x=\sqrt{10}\approx 3.16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3.16227766$$

مراحل راه‌حل

-\sqrt{19-x^{2}} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

هر دو طرف معادله را مربع کنید.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

\sqrt{15+x^{2}} را به توان 2 محاسبه کنید و 15+x^{2} را به دست آورید.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2} استفاده کنید.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

\sqrt{19-x^{2}} را به توان 2 محاسبه کنید و 19-x^{2} را به دست آورید.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

4 و 19 را برای دریافت 23 اضافه کنید.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

23-x^{2} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

برای پیدا کردن متضاد 23-x^{2}، متضاد هر اصطلاح پیدا شود.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

تفریق 23 را از 15 برای به دست آوردن -8 تفریق کنید.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

x^{2} و x^{2} را برای به دست آوردن 2x^{2} ترکیب کنید.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

هر دو طرف معادله را مربع کنید.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(-8+2x^{2}\right)^{2} استفاده کنید.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

برای رساندن توان به یک توان دیگر، توان‌ها را ضرب کنید. 2 و 2 را برای رسیدن به 4 ضرب کنید.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2} را بسط دهید.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

4 را به توان 2 محاسبه کنید و 16 را به دست آورید.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

\sqrt{19-x^{2}} را به توان 2 محاسبه کنید و 19-x^{2} را به دست آورید.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 16 در 19-x^{2} استفاده کنید.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

304 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

تفریق 304 را از 64 برای به دست آوردن -240 تفریق کنید.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

16x^{2} را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

-32x^{2} و 16x^{2} را برای به دست آوردن -16x^{2} ترکیب کنید.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

t به جای x^{2} جایگزین شود.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 4 را با a، -16 را با b، و -240 را با c جایگزین کنید.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

معادله t=\frac{16±64}{8} را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$t=10 t=-6$$

از آنجا که x=t^{2}، راه‌حل‌ها با ارزیابی x=±\sqrt{t} برای هر t مثبت به دست می‌آید.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

\sqrt{10} به جای x در معادله \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2 جایگزین شود.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

ساده کنید. مقدار x=\sqrt{10} معادله را برآورده می کند.

$$2=2$$

-\sqrt{10} به جای x در معادله \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2 جایگزین شود.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

ساده کنید. مقدار x=-\sqrt{10} معادله را برآورده می کند.

$$2=2$$

تمام راه حل‌های \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2 را لیست کنید.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$