حل sqrt{1+x}+sqrt{1-x}=sqrt{x+2}

$$\sqrt { 1 + x } + \sqrt { 1 - x } = \sqrt { x + 2 }$$

برای x حل کنید

$$x=\frac{2\sqrt{5}}{5}\approx 0.894427191$$

مراحل راه‌حل

هر دو طرف معادله را مربع کنید.

$$\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)^{2} استفاده کنید.

$$\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}+2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}+\left(\sqrt{1-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

\sqrt{1+x} را به توان 2 محاسبه کنید و 1+x را به دست آورید.

$$1+x+2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}+\left(\sqrt{1-x}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

\sqrt{1-x} را به توان 2 محاسبه کنید و 1-x را به دست آورید.

$$1+x+2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}+1-x=\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

1 و 1 را برای دریافت 2 اضافه کنید.

$$2+x+2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}-x=\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

x و -x را برای به دست آوردن 0 ترکیب کنید.

$$2+2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}=\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

\sqrt{x+2} را به توان 2 محاسبه کنید و x+2 را به دست آورید.

$$2+2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}=x+2$$

2 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}=x+2-2$$

تفریق 2 را از 2 برای به دست آوردن 0 تفریق کنید.

$$2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}=x$$

هر دو طرف معادله را مربع کنید.

$$\left(2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}\right)^{2}=x^{2}$$

\left(2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}\right)^{2} را بسط دهید.

$$2^{2}\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}\left(\sqrt{1-x}\right)^{2}=x^{2}$$

2 را به توان 2 محاسبه کنید و 4 را به دست آورید.

$$4\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}\left(\sqrt{1-x}\right)^{2}=x^{2}$$

\sqrt{1+x} را به توان 2 محاسبه کنید و 1+x را به دست آورید.

$$4\left(1+x\right)\left(\sqrt{1-x}\right)^{2}=x^{2}$$

\sqrt{1-x} را به توان 2 محاسبه کنید و 1-x را به دست آورید.

$$4\left(1+x\right)\left(1-x\right)=x^{2}$$

از اموال توزیعی برای ضرب 4 در 1+x استفاده کنید.

$$\left(4+4x\right)\left(1-x\right)=x^{2}$$

ویژگی توزیعی را از طریق ضرب کردن هر گزاره از 4+4x در هر گزاره از 1-x اعمال کنید.

$$4-4x+4x-4x^{2}=x^{2}$$

-4x و 4x را برای به دست آوردن 0 ترکیب کنید.

$$4-4x^{2}=x^{2}$$

x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$4-4x^{2}-x^{2}=0$$

-4x^{2} و -x^{2} را برای به دست آوردن -5x^{2} ترکیب کنید.

$$4-5x^{2}=0$$

4 را از هر دو طرف تفریق کنید. هر چیزی که از صفر کم می‌شود، منفی خودش می‌شود.

$$-5x^{2}=-4$$

هر دو طرف بر -5 تقسیم شوند.

$$x^{2}=\frac{-4}{-5}$$

کسر \frac{-4}{-5} را می‌توان به \frac{4}{5} با حذف علامت منفی از صورت و مخرج کسر ساده کرد.

$$x^{2}=\frac{4}{5}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$x=\frac{2\sqrt{5}}{5} x=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

\frac{2\sqrt{5}}{5} به جای x در معادله \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}=\sqrt{x+2} جایگزین شود.

$$\sqrt{1+\frac{2\sqrt{5}}{5}}+\sqrt{1-\frac{2\sqrt{5}}{5}}=\sqrt{\frac{2\sqrt{5}}{5}+2}$$

ساده کنید. مقدار x=\frac{2\sqrt{5}}{5} معادله را برآورده می کند.

$$\left(1+\frac{2}{5}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}+\left(1-\frac{2}{5}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{2}{5}\times 5^{\frac{1}{2}}+2\right)^{\frac{1}{2}}$$

-\frac{2\sqrt{5}}{5} به جای x در معادله \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}=\sqrt{x+2} جایگزین شود.

$$\sqrt{1-\frac{2\sqrt{5}}{5}}+\sqrt{1-\left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)}=\sqrt{-\frac{2\sqrt{5}}{5}+2}$$

ساده کنید. مقدار x=-\frac{2\sqrt{5}}{5} معادله را برآورده نمی کند.

$$\left(1-\frac{2}{5}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}+\left(1+\frac{2}{5}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(-\frac{2}{5}\times 5^{\frac{1}{2}}+2\right)^{\frac{1}{2}}$$

\frac{2\sqrt{5}}{5} به جای x در معادله \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}=\sqrt{x+2} جایگزین شود.

$$\sqrt{1+\frac{2\sqrt{5}}{5}}+\sqrt{1-\frac{2\sqrt{5}}{5}}=\sqrt{\frac{2\sqrt{5}}{5}+2}$$

ساده کنید. مقدار x=\frac{2\sqrt{5}}{5} معادله را برآورده می کند.

$$\left(1+\frac{2}{5}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}+\left(1-\frac{2}{5}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{2}{5}\times 5^{\frac{1}{2}}+2\right)^{\frac{1}{2}}$$

معادله \sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}=\sqrt{x+2} یک راه حل منحصر به فرد دارد.

$$x=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$