حل sqrt{(7-x)^2+(1-y)^2}=sqrt{(3-x)^2+(5-y)^2}

$$\sqrt { ( 7 - x ) ^ { 2 } + ( 1 - y ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( 3 - x ) ^ { 2 } + ( 5 - y ) ^ { 2 } }$$

برای x حل کنید

$$x=y+2$$

مراحل راه‌حل

هر دو طرف معادله را مربع کنید.

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(7-x\right)^{2} استفاده کنید.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(1-y\right)^{2} استفاده کنید.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

49 و 1 را برای دریافت 50 اضافه کنید.

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} را به توان 2 محاسبه کنید و 50-14x+x^{2}-2y+y^{2} را به دست آورید.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(3-x\right)^{2} استفاده کنید.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(5-y\right)^{2} استفاده کنید.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

9 و 25 را برای دریافت 34 اضافه کنید.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} را به توان 2 محاسبه کنید و 34-6x+x^{2}-10y+y^{2} را به دست آورید.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

6x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+6x=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

-14x و 6x را برای به دست آوردن -8x ترکیب کنید.

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}-x^{2}=34-10y+y^{2}$$

x^{2} و -x^{2} را برای به دست آوردن 0 ترکیب کنید.

$$50-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}$$

50 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}-50$$

تفریق 50 را از 34 برای به دست آوردن -16 تفریق کنید.

$$-8x-2y+y^{2}=-16-10y+y^{2}$$

2y را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$-8x+y^{2}=-16-10y+y^{2}+2y$$

-10y و 2y را برای به دست آوردن -8y ترکیب کنید.

$$-8x+y^{2}=-16-8y+y^{2}$$

y^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-8x=-16-8y+y^{2}-y^{2}$$

y^{2} و -y^{2} را برای به دست آوردن 0 ترکیب کنید.

$$-8x=-16-8y$$

معادله به شکل استاندارد است.

$$-8x=-8y-16$$

هر دو طرف بر -8 تقسیم شوند.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{-8y-16}{-8}$$

تقسیم بر -8، ضرب در -8 را لغو می‌کند.

$$x=\frac{-8y-16}{-8}$$

-16-8y را بر -8 تقسیم کنید.

$$x=y+2$$

y+2 به جای x در معادله \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} جایگزین شود.

$$\sqrt{\left(7-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}$$

ساده کنید. مقدار x=y+2 معادله را برآورده می کند.

$$\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}$$

معادله \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} یک راه حل منحصر به فرد دارد.

$$x=y+2$$

برای y حل کنید

$$y=x-2$$

مراحل راه‌حل

هر دو طرف معادله را مربع کنید.

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(7-x\right)^{2} استفاده کنید.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(1-y\right)^{2} استفاده کنید.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

49 و 1 را برای دریافت 50 اضافه کنید.

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} را به توان 2 محاسبه کنید و 50-14x+x^{2}-2y+y^{2} را به دست آورید.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(3-x\right)^{2} استفاده کنید.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(5-y\right)^{2} استفاده کنید.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

9 و 25 را برای دریافت 34 اضافه کنید.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} را به توان 2 محاسبه کنید و 34-6x+x^{2}-10y+y^{2} را به دست آورید.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

10y را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+10y=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

-2y و 10y را برای به دست آوردن 8y ترکیب کنید.

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

y^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}-y^{2}=34-6x+x^{2}$$

y^{2} و -y^{2} را برای به دست آوردن 0 ترکیب کنید.

$$50-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}$$

50 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}-50$$

تفریق 50 را از 34 برای به دست آوردن -16 تفریق کنید.

$$-14x+x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}$$

14x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}+14x$$

-6x و 14x را برای به دست آوردن 8x ترکیب کنید.

$$x^{2}+8y=-16+8x+x^{2}$$

x^{2} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$8y=-16+8x+x^{2}-x^{2}$$

x^{2} و -x^{2} را برای به دست آوردن 0 ترکیب کنید.

$$8y=-16+8x$$

معادله به شکل استاندارد است.

$$8y=8x-16$$

هر دو طرف بر 8 تقسیم شوند.

$$\frac{8y}{8}=\frac{8x-16}{8}$$

تقسیم بر 8، ضرب در 8 را لغو می‌کند.

$$y=\frac{8x-16}{8}$$

-16+8x را بر 8 تقسیم کنید.

$$y=x-2$$

x-2 به جای y در معادله \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} جایگزین شود.

$$\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-\left(x-2\right)\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-\left(x-2\right)\right)^{2}}$$

ساده کنید. مقدار y=x-2 معادله را برآورده می کند.

$$\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}$$

معادله \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} یک راه حل منحصر به فرد دارد.

$$y=x-2$$