حل sinh(1)=

$$\sin h ( 1 ) =$$

مشتق گرفتن w.r.t. h

$$\cos(h)$$

مراحل استفاده از تعریف یک مشتق

برای یک تابع f\left(x\right)، مشتق حد \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} است که h به 0 می‌رود، البته در صورتی که آن حد وجود داشته باشد.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}h}(\sin(h))=\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(h+t)-\sin(h)}{t}\right)$$

از فرمول جمع برای سینوس استفاده کنید.

$$\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t+h)-\sin(h)}{t}$$

\sin(h) را فاکتور بگیرید.

$$\lim_{t\to 0}\frac{\sin(h)\left(\cos(t)-1\right)+\cos(h)\sin(t)}{t}$$

حد را بازنویسی کنید.

$$\left(\lim_{t\to 0}\sin(h)\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\left(\lim_{t\to 0}\cos(h)\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}\right)$$

از این واقعیت استفاده کنید که h در زمان محاسبه حدهابه عنوان t به 0 می‌رود، یک مقدار ثابت است.

$$\sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}\right)$$

حد \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h} برابر است با 1.

$$\sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h)$$

برای ارزیابی حد، \lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}، ابتدا صورت کسر و مخرج را در \cos(t)+1 ضرب کنید.

$$\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)=\left(\lim_{t\to 0}\frac{\left(\cos(t)-1\right)\left(\cos(t)+1\right)}{t\left(\cos(t)+1\right)}\right)$$

\cos(t)+1 بار \cos(t)-1.

$$\lim_{t\to 0}\frac{\left(\cos(t)\right)^{2}-1}{t\left(\cos(t)+1\right)}$$

از اتحاد فیثاغورس استفاده کنید.

$$\lim_{t\to 0}-\frac{\left(\sin(t)\right)^{2}}{t\left(\cos(t)+1\right)}$$

حد را بازنویسی کنید.

$$\left(\lim_{t\to 0}-\frac{\sin(t)}{t}\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)$$

حد \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h} برابر است با 1.

$$-\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)$$

از این واقعیت استفاده کنید که \frac{\sin(t)}{\cos(t)+1} در 0 پیوسته است.

$$\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)=0$$

مقدار 0 را در عبارت \sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h) جایگزین کنید.

$$\cos(h)$$

ارزیابی

$$\sin(h)$$