حل {r}{8x+y=21}{24x-5y=23}

$$\left. \begin{array} { r } { 8 x + y = 21 } \\ { 24 x - 5 y = 23 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=2$$

$$y=5$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$8x+y=21$$

y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$8x=-y+21$$

هر دو طرف بر 8 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+21\right)$$

\frac{1}{8} بار -y+21.

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}$$

\frac{-y+21}{8} را با x در معادله جایگزین کنید، 24x-5y=23.

$$24\left(-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}\right)-5y=23$$

24 بار \frac{-y+21}{8}.

$$-3y+63-5y=23$$

-3y را به -5y اضافه کنید.

$$-8y+63=23$$

63 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-8y=-40$$

هر دو طرف بر -8 تقسیم شوند.

$$y=5$$

5 را با y در x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{1}{8}\times 5+\frac{21}{8}$$

-\frac{1}{8} بار 5.

$$x=\frac{-5+21}{8}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{21}{8} را به -\frac{5}{8} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x=2$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=2,y=5$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8\left(-5\right)-24}&-\frac{1}{8\left(-5\right)-24}\\-\frac{24}{8\left(-5\right)-24}&\frac{8}{8\left(-5\right)-24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}&\frac{1}{64}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}\times 21+\frac{1}{64}\times 23\\\frac{3}{8}\times 21-\frac{1}{8}\times 23\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=2,y=5$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

برای مساوی کردن 8x و 24x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 24 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 8 ضرب کنید.

$$24\times 8x+24y=24\times 21,8\times 24x+8\left(-5\right)y=8\times 23$$

ساده کنید.

$$192x+24y=504,192x-40y=184$$

192x-40y=184 را از 192x+24y=504 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$192x-192x+24y+40y=504-184$$

192x را به -192x اضافه کنید. عبارت‌های 192x و -192x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$24y+40y=504-184$$

24y را به 40y اضافه کنید.

$$64y=504-184$$

504 را به -184 اضافه کنید.

$$64y=320$$

هر دو طرف بر 64 تقسیم شوند.

$$y=5$$

5 را با y در 24x-5y=23 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$24x-5\times 5=23$$

-5 بار 5.

$$24x-25=23$$

25 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$24x=48$$

هر دو طرف بر 24 تقسیم شوند.

$$x=2$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=2,y=5$$