حل {r}{4x+5y=153000}{-4x+4y=140000}

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x + 5 y = 153000 } \\ { - 4 x + 4 y = 140000 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x = -\frac{22000}{9} = -2444\frac{4}{9} \approx -2444.444444444$$

$$y = \frac{293000}{9} = 32555\frac{5}{9} \approx 32555.555555556$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$4x+5y=153000,-4x+4y=140000$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$4x+5y=153000$$

5y را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$4x=-5y+153000$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+153000\right)$$

\frac{1}{4} بار -5y+153000.

$$x=-\frac{5}{4}y+38250$$

-\frac{5y}{4}+38250 را با x در معادله جایگزین کنید، -4x+4y=140000.

$$-4\left(-\frac{5}{4}y+38250\right)+4y=140000$$

-4 بار -\frac{5y}{4}+38250.

$$5y-153000+4y=140000$$

5y را به 4y اضافه کنید.

$$9y-153000=140000$$

153000 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$9y=293000$$

هر دو طرف بر 9 تقسیم شوند.

$$y=\frac{293000}{9}$$

\frac{293000}{9} را با y در x=-\frac{5}{4}y+38250 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{293000}{9}+38250$$

با ضرب صورت کسر در صورت کسر و مخرج کسر در مخرج کسر، -\frac{5}{4} را در \frac{293000}{9} ضرب کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین جمله ممکن ساده کنید.

$$x=-\frac{366250}{9}+38250$$

38250 را به -\frac{366250}{9} اضافه کنید.

$$x=-\frac{22000}{9}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=-\frac{22000}{9},y=\frac{293000}{9}$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$4x+5y=153000,-4x+4y=140000$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\-4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}153000\\140000\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}4&5\\-4&4\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\-4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}153000\\140000\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}153000\\140000\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}153000\\140000\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-5\left(-4\right)}&-\frac{5}{4\times 4-5\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{4\times 4-5\left(-4\right)}&\frac{4}{4\times 4-5\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}153000\\140000\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{5}{36}\\\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}153000\\140000\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 153000-\frac{5}{36}\times 140000\\\frac{1}{9}\times 153000+\frac{1}{9}\times 140000\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22000}{9}\\\frac{293000}{9}\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=-\frac{22000}{9},y=\frac{293000}{9}$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$4x+5y=153000,-4x+4y=140000$$

برای مساوی کردن 4x و -4x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در -4 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 4 ضرب کنید.

$$-4\times 4x-4\times 5y=-4\times 153000,4\left(-4\right)x+4\times 4y=4\times 140000$$

ساده کنید.

$$-16x-20y=-612000,-16x+16y=560000$$

-16x+16y=560000 را از -16x-20y=-612000 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$-16x+16x-20y-16y=-612000-560000$$

-16x را به 16x اضافه کنید. عبارت‌های -16x و 16x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$-20y-16y=-612000-560000$$

-20y را به -16y اضافه کنید.

$$-36y=-612000-560000$$

-612000 را به -560000 اضافه کنید.

$$-36y=-1172000$$

هر دو طرف بر -36 تقسیم شوند.

$$y=\frac{293000}{9}$$

\frac{293000}{9} را با y در -4x+4y=140000 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$-4x+4\times \frac{293000}{9}=140000$$

4 بار \frac{293000}{9}.

$$-4x+\frac{1172000}{9}=140000$$

\frac{1172000}{9} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-4x=\frac{88000}{9}$$

هر دو طرف بر -4 تقسیم شوند.

$$x=-\frac{22000}{9}$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=-\frac{22000}{9},y=\frac{293000}{9}$$