حل {r}{10x-10y=-10}{+-10x+8y=12}

$$\left. \begin{array} { r } { 10 x - 10 y = - 10 } \\ { + - 10 x + 8 y = 12 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=-2$$

$$y=-1$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$10x-10y=-10$$

10y را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$10x=10y-10$$

هر دو طرف بر 10 تقسیم شوند.

$$x=\frac{1}{10}\left(10y-10\right)$$

\frac{1}{10} بار -10+10y.

$$x=y-1$$

y-1 را با x در معادله جایگزین کنید، -10x+8y=12.

$$-10\left(y-1\right)+8y=12$$

-10 بار y-1.

$$-10y+10+8y=12$$

-10y را به 8y اضافه کنید.

$$-2y+10=12$$

10 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-2y=2$$

هر دو طرف بر -2 تقسیم شوند.

$$y=-1$$

-1 را با y در x=y-1 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-1-1$$

-1 را به -1 اضافه کنید.

$$x=-2$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=-2,y=-1$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}&-\frac{-10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}\\-\frac{-10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}&\frac{10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 12\\-\frac{1}{2}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 12\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=-2,y=-1$$

مراحل استفاده از حذف

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

برای مساوی کردن 10x و -10x، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در -10 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 10 ضرب کنید.

$$-10\times 10x-10\left(-10\right)y=-10\left(-10\right),10\left(-10\right)x+10\times 8y=10\times 12$$

ساده کنید.

$$-100x+100y=100,-100x+80y=120$$

-100x+80y=120 را از -100x+100y=100 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$-100x+100x+100y-80y=100-120$$

-100x را به 100x اضافه کنید. عبارت‌های -100x و 100x با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$100y-80y=100-120$$

100y را به -80y اضافه کنید.

$$20y=100-120$$

100 را به -120 اضافه کنید.

$$20y=-20$$

هر دو طرف بر 20 تقسیم شوند.

$$y=-1$$

-1 را با y در -10x+8y=12 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$-10x+8\left(-1\right)=12$$

8 بار -1.

$$-10x-8=12$$

8 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$-10x=20$$

هر دو طرف بر -10 تقسیم شوند.

$$x=-2$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=-2,y=-1$$