حل {r}{x+1/2+y-1/3=8}{x-1/3+y+1/2=9}

$$\left. \begin{array} { r } { \frac { x + 1 } { 2 } + \frac { y - 1 } { 3 } = 8 } \\ { \frac { x - 1 } { 3 } + \frac { y + 1 } { 2 } = 9 } \end{array} \right.$$

برای x،y حل کنید

$$x=7$$

$$y=13$$

مراحل استفاده از جایگزینی

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8,\frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن x در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، x را به دست آورید.

$$\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8$$

\frac{1}{2} بار x+1.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8$$

\frac{1}{3} بار y-1.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}=8$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{1}{2} را به -\frac{1}{3} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}=8$$

\frac{1}{6} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{47}{6}$$

\frac{y}{3} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{1}{3}y+\frac{47}{6}$$

هر دو طرف در 2 ضرب شوند.

$$x=2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{47}{6}\right)$$

2 بار -\frac{y}{3}+\frac{47}{6}.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{47}{3}$$

\frac{-2y+47}{3} را با x در معادله جایگزین کنید، \frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9.

$$\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}y+\frac{47}{3}-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

\frac{47}{3} را به -1 اضافه کنید.

$$\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}y+\frac{44}{3}\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

\frac{1}{3} بار \frac{-2y+44}{3}.

$$-\frac{2}{9}y+\frac{44}{9}+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

\frac{1}{2} بار y+1.

$$-\frac{2}{9}y+\frac{44}{9}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=9$$

-\frac{2y}{9} را به \frac{y}{2} اضافه کنید.

$$\frac{5}{18}y+\frac{44}{9}+\frac{1}{2}=9$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{44}{9} را به \frac{1}{2} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$\frac{5}{18}y+\frac{97}{18}=9$$

\frac{97}{18} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\frac{5}{18}y=\frac{65}{18}$$

هر دو طرف معادله را بر \frac{5}{18} تقسیم کنید که مشابه ضرب هر دو طرف در اعداد متقابل کسر است.

$$y=13$$

13 را با y در x=-\frac{2}{3}y+\frac{47}{3} جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای x حل کنید.

$$x=-\frac{2}{3}\times 13+\frac{47}{3}$$

-\frac{2}{3} بار 13.

$$x=\frac{-26+47}{3}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{47}{3} را به -\frac{26}{3} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x=7$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$x=7,y=13$$

مراحل استفاده از ماتریس

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8,\frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

اولین معادله را با قرار دادن آن در قالب استاندارد ساده کنید.

$$\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8$$

\frac{1}{2} بار x+1.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8$$

\frac{1}{3} بار y-1.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}=8$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{1}{2} را به -\frac{1}{3} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}=8$$

\frac{1}{6} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{47}{6}$$

دومین معادله را با قرار دادن آن در قالب استاندارد ساده کنید.

$$\frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

\frac{1}{3} بار x-1.

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

\frac{1}{2} بار y+1.

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=9$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{1}{3} را به \frac{1}{2} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}=9$$

\frac{1}{6} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=\frac{53}{6}$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\\-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}&-\frac{12}{5}\\-\frac{12}{5}&\frac{18}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\times \frac{47}{6}-\frac{12}{5}\times \frac{53}{6}\\-\frac{12}{5}\times \frac{47}{6}+\frac{18}{5}\times \frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس x و y را استخراج کنید.

$$x=7,y=13$$