حل {l}{y=2x}{300x+200y=7000}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x } \\ { 300 x + 200 y = 7000 } \end{array} \right.$$

برای y،x حل کنید

$$x=10$$

$$y=20$$

مراحل استفاده از جایگزینی

اولین معادله را در نظر بگیرید. 2x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$y-2x=0$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$y-2x=0,200y+300x=7000$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن y در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، y را به دست آورید.

$$y-2x=0$$

2x را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$y=2x$$

2x را با y در معادله جایگزین کنید، 200y+300x=7000.

$$200\times 2x+300x=7000$$

200 بار 2x.

$$400x+300x=7000$$

400x را به 300x اضافه کنید.

$$700x=7000$$

هر دو طرف بر 700 تقسیم شوند.

$$x=10$$

10 را با x در y=2x جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای y حل کنید.

$$y=2\times 10$$

2 بار 10.

$$y=20$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$y=20,x=10$$

مراحل استفاده از ماتریس

اولین معادله را در نظر بگیرید. 2x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$y-2x=0$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$y-2x=0,200y+300x=7000$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\200&300\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{300-\left(-2\times 200\right)}&-\frac{-2}{300-\left(-2\times 200\right)}\\-\frac{200}{300-\left(-2\times 200\right)}&\frac{1}{300-\left(-2\times 200\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{1}{350}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{700}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\7000\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{350}\times 7000\\\frac{1}{700}\times 7000\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس y و x را استخراج کنید.

$$y=20,x=10$$

مراحل استفاده از حذف

اولین معادله را در نظر بگیرید. 2x را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$y-2x=0$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$y-2x=0,200y+300x=7000$$

برای مساوی کردن y و 200y، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 200 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 1 ضرب کنید.

$$200y+200\left(-2\right)x=0,200y+300x=7000$$

ساده کنید.

$$200y-400x=0,200y+300x=7000$$

200y+300x=7000 را از 200y-400x=0 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$200y-200y-400x-300x=-7000$$

200y را به -200y اضافه کنید. عبارت‌های 200y و -200y با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$-400x-300x=-7000$$

-400x را به -300x اضافه کنید.

$$-700x=-7000$$

هر دو طرف بر -700 تقسیم شوند.

$$x=10$$

10 را با x در 200y+300x=7000 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای y حل کنید.

$$200y+300\times 10=7000$$

300 بار 10.

$$200y+3000=7000$$

3000 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$200y=4000$$

هر دو طرف بر 200 تقسیم شوند.

$$y=20$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$y=20,x=10$$