حل {l}{y=-2x+13}{4x+8y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 2 x + 13 } \\ { 4 x + 8 y = 20 } \end{array} \right.$$

برای y،x حل کنید

$$x=7$$

$$y=-1$$

مراحل استفاده از جایگزینی

اولین معادله را در نظر بگیرید. 2x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$y+2x=13$$

برای حل یک سری معادله با استفاده از جایگزینی، ابتدا یکی از معادله‌ها را برای یکی از متغیرها حل کنید. سپس نتیجه را برای آن متغیر در معادله دیگر جایگزین کنید.

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

یکی از معادلات را انتخاب کنید و با تنها نگه داشتن y در سمت چپ علامت مساوی و حل معادله، y را به دست آورید.

$$y+2x=13$$

2x را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$y=-2x+13$$

-2x+13 را با y در معادله جایگزین کنید، 8y+4x=20.

$$8\left(-2x+13\right)+4x=20$$

8 بار -2x+13.

$$-16x+104+4x=20$$

-16x را به 4x اضافه کنید.

$$-12x+104=20$$

104 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$-12x=-84$$

هر دو طرف بر -12 تقسیم شوند.

$$x=7$$

7 را با x در y=-2x+13 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای y حل کنید.

$$y=-2\times 7+13$$

-2 بار 7.

$$y=-14+13$$

13 را به -14 اضافه کنید.

$$y=-1$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$y=-1,x=7$$

مراحل استفاده از ماتریس

اولین معادله را در نظر بگیرید. 2x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$y+2x=13$$

معادلات را در قالب استاندارد قرار داده و سپس از ماتریس‌ها برای حل سیستم معادلات استفاده کنید.

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

معادله‌ها را به شکل ماتریس بنویسید.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

معادله را از سمت چپ در ماتریس وارون \left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right) ضرب کنید.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

حاصل ماتریس و وارون آن ماتریس همانی است.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌های سمت چپ علامت مساوی را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\8&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

برای ماتریس 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، ماتریس معکوس \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) است، بنابراین معادله ماتریس می‌تواند به‌صورت مسئله ضرب ماتریس بازنویسی شود.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\times 8}&-\frac{2}{4-2\times 8}\\-\frac{8}{4-2\times 8}&\frac{1}{4-2\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\20\end{matrix}\right)$$

ماتریس‌ها را ضرب کنید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 13+\frac{1}{6}\times 20\\\frac{2}{3}\times 13-\frac{1}{12}\times 20\end{matrix}\right)$$

محاسبات را انجام دهید.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

عناصر ماتریس y و x را استخراج کنید.

$$y=-1,x=7$$

مراحل استفاده از حذف

اولین معادله را در نظر بگیرید. 2x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$y+2x=13$$

برای حل با استفاده از حذف، ضرایب یکی از متغیرها باید در هر دو معادله مشابه باشد، بنابراین متغیر در زمانی که یک معادله از معادله دیگر تفریق می‌شود، برابر خواهد شد.

$$y+2x=13,8y+4x=20$$

برای مساوی کردن y و 8y، همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله اول را در 8 و همه عبارت‌های موجود در هر طرف معادله دوم را در 1 ضرب کنید.

$$8y+8\times 2x=8\times 13,8y+4x=20$$

ساده کنید.

$$8y+16x=104,8y+4x=20$$

8y+4x=20 را از 8y+16x=104 با کم کردن جمله‌های دارای متغیر مساوی در هر طرف علامت مساوی تفریق کنید.

$$8y-8y+16x-4x=104-20$$

8y را به -8y اضافه کنید. عبارت‌های 8y و -8y با هم ساده می‌شوند و معادله تنها با یک متغیر باقی می‌ماند که می‌توان آن را حل کرد.

$$16x-4x=104-20$$

16x را به -4x اضافه کنید.

$$12x=104-20$$

104 را به -20 اضافه کنید.

$$12x=84$$

هر دو طرف بر 12 تقسیم شوند.

$$x=7$$

7 را با x در 8y+4x=20 جایگزین کنید. از آنجایی که معادله حاصل شامل تنها یک متغیر است، می‌توانید به طور مستقیم برای y حل کنید.

$$8y+4\times 7=20$$

4 بار 7.

$$8y+28=20$$

28 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$8y=-8$$

هر دو طرف بر 8 تقسیم شوند.

$$y=-1$$

سیستم در حال حاضر حل شده است.

$$y=-1,x=7$$